\hsize 160 truemm
\vsize 247 truemm
\def\arctg{\text{\rm arctg}\,}
\def\ctg{\text{\rm ctg}\,}
\def\tg{\text{\rm tg}\,}
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 18.\\
\\
Logarytm i funkcja wyk�adnicza
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead

\medskip

\item{c18.1} Opisa� poziome asymptoty funkcji
$y=\frac{1+\log|x|}{x}$.

\item{c18.2} Znale��: (a) $\int\frac{2x^3+x}{x^4+x^2}dx$,
\newline (b) $\int \big(\frac{1}{\sqrt s}\big)\big(\frac{1}{1+\sqrt s}\big) ds$,
\newline (c) $\int\frac{\frac{1}{y^2}}{1+\frac{1}{y}} dy$,
\newline (d) $\int\frac{u-u^{-3}}{u^2+u^{-2}} du$,
\newline (e) $\int\frac{\sqrt{\log z}}{z} dz$.

\item{c18.3} Zbada� przebieg funkcji $[-4,1]\ni x\to x^2e^{2x}$,

\item{c18.4} Oszacowa� od g�ry (a) $\frac{e^x}{x^2}$ dla $x=1,2,3,4$,
\newline (b) $\frac{e^x}{x^3}$ dla $x=1,3,5,7$,
\newline Oszacowa� od do�u (c) $\frac{x^2}{\log x}$ dla $x=1,2,3,4$.
\newline ({\bf Wskaz�wka:} u�y� nier�wno�ci z dowodu wzoru (10) streszczenia.)


\head Zadania\endhead

\item{z18.1}  Udowodni�: (a) $\lim_{x\to+\infty}x^\alpha =+\infty$, dla $\alpha>0$,
\newline (b) $\lim_{x\to0^+}x^\alpha=0,$ dla $\alpha>0$,
\newline (c) Udowodni�, �e funkcja $f(x) = Ae^{\alpha x}$ jest jedynym rozwi�zaniem r�wnania
r�niczkowego
$$
f'(x) =\alpha f(x)
$$
z warunkiem pocz�tkowym $f(0)=A$.

\item{z18.2}  Znale��: (a) $\int\frac{\sin u}{\cos^3 u} du$,
\newline (b) $\int \frac{1+\tg^2\log u}{u}du$,
\newline (c) $\int \frac{dx}{x^2+x}$ ({\bf Wskaz�wka:} zapisa�
$1/(x^2+x)$ w postaci $a/x+b/(1+x)$ dla pewnych $a$ i $b$),
\newline (d) $\int\frac{dz}{(1+z^2)(1+z)}$.

\item{z18.3} Znale�� rozwi�zanie r�wnania
$$
\frac{d^2\ v(t)}{dt^2}=\frac{1}{t^2},
$$
z warunkiem $v(1)=0$ i $v(2) = 1-\log 2$.

\item{z18.4}  Zbada� przebieg funkcji (a) $[-3,1]\ni x\to
xe^{2x/3}$,
\newline (b) $[0,4]\ni x\to\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}$,
\newline (c) $[-3,1]\ni x\to x^3e^{3x}$,
\newline (d) $\bold R^+\ni x\to x^2/\log x$,
\newline (e) $\bold R^+\ni x\to e^x/x^\alpha$ dla ustalonego $\alpha>0$.

\item{z18.5} Prze�ledzi� dow�d twierdzenia 18.15. i dla zadanego $\epsilon>0$
znale�� $N$ takie, �e je�li $x>N$, to
$$
1-\epsilon<\left(1+\frac{\alpha}{x}\right)^x\ e^{-\alpha}<1+\epsilon.
$$
\enddocument
