\hsize 160 truemm
\vsize 247 truemm
\def\arctg{\text{\rm arctg}\,}
\def\ctg{\text{\rm ctg}\,}
\def\tg{\text{\rm tg}\,}
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 17.\\
\\
Funkcje Trygonometryczne II
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead
\medskip

\item{c17.1} Znale��: (a) $\frac{d}{dt}\sin(2t+1)$, (b)
$\frac{d}{dx}\cos x^2$, (c) $\frac{d}{dx} \cos^2 x$, (d)
$\frac{d}{dx}\cos(\cos x)$, (e) $\frac{d}{dz}\sin(\cos z)$.

\item{c17.2} Znale��: (a)  $\frac{dy}{d\theta}$ je�li $y=\cos
\theta\sin\theta$, (b) $\frac{d}{du}\sin(\arccos u)$, (c)
$\frac{d}{dz}\big[\cos^2(2z+1)\sin(2z+1)^2\big]$

\item{c17.3} Znale��: (a) $\int^{9\pi/2}_0\sin 3t dt$
(b) $\int_{3\pi}^{5\pi/2}\cos\frac{\theta}{2}\,d\theta$, (c) $\int (\cos
x^2)x\ dx$, (d) $\int(\sin^2\theta)\cos\theta\,d\theta$, (e)
$\int\big(\frac{1}{\cos\theta}\big)^3\sin\theta\,d\theta.$

\item{c17.4} (a) Znale�� wz�r na $\sin 4\theta$ przy u�yciu
$\sin\theta$, $\cos\theta$, (b) Znale�� wz�r na $\sin 5\theta$ przy u�yciu
 $\sin\theta$, $\cos\theta$, (c) Znale�� wz�r na
$\cos(\theta/4)$ przy u�yciu $\sin\theta$, $\cos\theta$, (d) Znale��
wz�r na $\cos(3\theta/2)$ przy u�yciu $\sin\theta$, $\cos\theta$.

\item{c17.5} Obliczy� (a) $\int \sin^2x dx$ u�ywaj�c wzoru na
$\sin 2x$, (b) $\int\cos^23x dx$, (c) $\int \sin^2x\cos^2x dx$,
\newline (d) $\int^{\pi/3}_{\pi/4}\sin\theta\sin(\theta/2)\,d\theta.$

\item{c17.6} Zbada� przebieg nast�puj�cych funkcji (a) $\theta \to 2\sin(\theta/2)$, (b) $x\to
x+\sin x$, (c) $x\to\sqrt{\cos x}$ w przedziale $[-\pi/2,\pi/2]$.

\item{c17.7} Obliczy� (a) $\frac{d}{dx}\tg (x^2)$
(b) $\frac{d^2}{dx^2}\tg^2x$, (c) $\frac{d^2}{dx^2}x\tg x$

\item{c17.8} Obliczy� (a) $\int_0^1\frac{dt}{1+t^2}$ (b)
$\frac{d}{dx}\arctg \sqrt{x}$, (c) $\frac{d^2}{dx^2}x\arctg(x^{-
1/2})$ (d) $\int \frac{dz}{2z^2-6z+5}$



\head Zadania\endhead

\item{z17.1} Znale�� rozwi�zanie r�wnania r�niczkowego
$y''(x)=\cos\frac{x}{2}$

\item{z17.2} Znale�� rozwi�zanie r�wnania r�niczkowego
$y''(x)-2y'(x)=3\cos x$. Wskaz�wka: szuka� rozwi�zania postaci
$y(x) = a\cos x+ b\sin x$ dobieraj�c odpowiednio sta�e $a,b$.

\item{z17.3}   Udowodni� $\tg\ x= \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}$.

\item{z17.4} Niech $(x,y)$ b�dzie punktem na okr�gu jednostkowym,
r�nym od $(-1,0)$. Udowodni�, �e istnieje liczba $t$ taka,
�e
$x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y=\frac{2t}{1+t^2}$.

\item{z17.5} Obliczy� (a)
$\int^{\pi/3}_0\frac{\tg\theta}{1+\tg^2\theta}d\theta$, (b)
$\int_0^{\pi/4}\frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2x} dx$, (c)
$\int\frac{du}{a+bu^2}$.

\item{z17.6}  Udowodni�, (a) $\cos(\arctg
u)=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$
(b) $\tg(\arccos u)=\frac{\sqrt{1-u^2}}{u}.$

\item{z17.7}  Znale��
rozwi�zanie r�wnania r�niczkowego $\frac{d^2x}{dt^2}=
\frac{-t}{(1+t^2)^2}$ takie, �e $x(0)=\pi/8$ i $x(1)=\pi$.
\enddocument
