\hsize 160 truemm
\vsize 247 truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 16.\\
\\
D�ugo�� krzywej
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead
\medskip
\item{c16.1} Znale�� d�ugo�� wykresu funkcji pomi�dzy
zadanymi punktami

(a) $f(x) = (x+1)^{3/2}$ pomi�dzy $x=3\ x=8$,

(b) $f(x) = x^{2/3}-1$ pomi�dzy $x=8\ x=27$,

(c) $f(x) =\int_1^x\sqrt{t^2-1}\ dt$ pomi�dzy $x=1\ x=3$.

(d) $f(x) =\frac{1}{3} (x^2+2)^{3/2}$ pomi�dzy $x=\sqrt 2\ x=\sqrt
7$,

(e) $f(x) = \int_1^x(t+\frac{1}{t}+1)^{\frac12}\ dt$ pomi�dzy $x=1\
x=4$,
\item{c16.2} Znale�� liczby: (a) $\arccos\frac12$, (b) $\arcsin \frac12
$, (c) $\arccos\frac{1}{\sqrt 2}.$

\item{c16.3} Obliczy� pochodne funkcji $f$:
(a) $f(x) = \arcsin (2x),\ 0<x<\frac12$, (b) $f(x)=\arcsin (\sin 2x)$
(c) $f(x) =(\arccos x)^3$, (d) $f(x) = \sin[\arcsin(2x)]$.

\item{c16.4} Obliczy� $\frac{d}{dx}\big(\arccos\sqrt{1-x^2}\big)$


\head Zadania\endhead
\medskip

\item{z16.1} Niech $L(a,b)$ oznacza d�ugo�� �uku g�rnego
p�okr�gu pomi�dzy punktami $P=(a,\sqrt{r^2-a^2})$ i
$Q=(b,\sqrt{r^2-b^2})$, gdzie $-r\leq a<b\leq r$. Niech A(a,b)
oznacza pole sektora ko�a $POQ$. Znale�� wzory na $L(a,b)$
i $A(a,b)$ analogiczne do tych, kt�re dla $r=1$ by�y podane w
16.4.

\item{z16.2} Jak $A(a,b)$ wyra�a si� przez $L(a,b)$?

\item{z16.3} Znale�� (a) $\int\frac{du}{\sqrt{1-16u^2}}$,
(b)$\int\sqrt{\frac{\arccos z}{1-z^2}} dz$, (c) $\int_{-1}^0\arccos
x\ dx$


\item{z16.4} Znale�� $\int\frac{dx}{\sqrt{a-bx^2}}$, gdzie $a,b$
s� dodatnimi sta�ymi.

\item{z16.5} Obliczy� (a) $\int_0^{\frac12}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$,
(b) $\int_{\frac12}^{\frac{\sqrt 2}{2}}\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}$
(c) $\int_{1/4}^{1/2}\frac{1}{\sqrt{1-t}}\frac{dt}{\sqrt t}$.
\enddocument
