\hsize 159 truemm
\hoffset -5truemm
\vsize 240 truemm
\voffset -5truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
{\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 14.\\
\\
Ca�ka II
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead
\medskip
\item{c14.1} Obliczy� (a) $\int^{\sqrt{2}}_{-
1}\frac{xdx}{(x^2+1)^3},$
(b) $\int_1^2(2z-3)dz$ (c) $\int_0^{\sqrt{5}} z\sqrt{z^2+4} dz$
(d) $\int_0^1\frac{u^2du}{(2-u^3)^3}du$.

\item{c14.2} Obliczy� (a)
$\int^1_0 y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{3}{2}}+1)^{\frac12} dy$, (b)
$\int_1^8x^3\sqrt{1+x^4} dx$


\item{c14.3} Obliczy� (a) $\int^{\frac{5}{9}}_0
\frac{dy}{\sqrt{1-y}}(1+\sqrt{1-y})^2 dy$
(b) $\int_0^9\sqrt{1+\sqrt{y}}dy$
(c) $\int_0^1\frac{z}{(1+z)^4} dz$.

\head Zadania\endhead

\item{z14.1} Z w�asno�ci ca�ki (14.1)-(14.3) wywnioskowa�,
�e $2<\int_{-1}^{1}(1+x^{1002})dx<4$.

\item{z14.2} Udowodni�, �e $\int_a^b f(x) dx = \int^{-a}_{-b}
f(x)dx$ gdy $f$ jest parzysta i  $\int_a^b f(x) dx = -\int^{-a}_{-
b} f(x)dx$ gdy $f$ jest nieparzysta.

\item{z14.3} Niech
$$ \text{sgn} (x)=\cases +1&\text{gdy}\quad x\geq 0\\
-1&\text{gdy}\quad x<0,\endcases
$$
Czy istnieje $\lim_{h\to
0}\frac{1}{2h}\int_{-h}^{+h}\text{sgn}(x) dx$?
\enddocument
