\hsize 159 truemm
\hoffset -5truemm
\vsize 240 truemm
\voffset -5truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
{\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 13.\\
\\
Ca�ka I
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead
\medskip
\item{c13.1} Obliczy� ca�ki u�ywaj�c odpowiedniego
podstawienia, sprawdzi� wynik przez zr�niczkowanie.

(a) $\int \frac{dt}{\sqrt{3+5t}} dt$, (b) $\int\big(2t-
\frac{1}{t^2}\big)\sqrt{t^2+\frac{1}{t}} dt$ (c) $\int
x^{\frac{1}{3}}
(x^{\frac{2}{3}}+1)^{\frac{1}{2}} dx$, (d) $\int\frac{\sqrt{1+\sqrt
y}}{\sqrt{y}} dy $

\item{c13.2} Obliczy� ca�ki. Przykszta�ci� wyra�enie pod
ca�k� tak aby mo�na by�o zastosowa� odpowiednie podstawienie.
Sprawdzi� wynik przez zr�niczkowanie.

(a) $\int\frac{v(1+\sqrt{v^2+4})^3}{\sqrt{v^2+4}} dv$, (b)
$\int\frac{t^{\frac{1}{3}}-1)^6}{t^{\frac{1}{3}}} dt$,
(c) $\int \frac{t^2-t}{(2t-1)^4} dt$, (d)
$\int\frac{dx}{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}}-1)^{\frac{3}{2}}}.$

\item{c13.3} (a) Obliczy� $\int_0^1(x^2+1) dx$ z b��dem nie
przekraczaj�cym $0,1$. (b) Obliczy� $\int_{0,1}^{0,2}x^2 dx$ z
b��dem nie przekraczaj�cym $0,002$. (c) Obliczy�
$\int_1^2\frac{dx}{x}$ z b��dem nie przekraczaj�cym
$\frac{1}{4}$

\item{c13.4} U�ywaj�c kalkulatora do obliczania
pierwiastka obliczy� $\int_{-\frac12}^{+\frac12}\sqrt{1-x^2} dx$ z
b��dem nie przekraczaj�cym $0,05$.

\item{c13.5} U�ywaj�c kalkulatora do obliczania
pierwiastka obliczy� $\int_{-\frac12}^{+\frac12}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$
z b��dem nie przekraczaj�cym $0,05$.


\head Zadania\endhead
\medskip

\item{z13.1} Niech $\varphi$ b�dzie funkcj� prost�.
Uzasadni� wz�r $\int_a^b \varphi(2x)dx =\frac12\int_{2a}^{2b}\varphi(t)dt$


\item{z13.2} Niech $\varphi$ b�dzie funkcj� prost�.
Uzasadni� wz�r $\int_a^b \varphi(\alpha x)dx =\frac{1}{\alpha}\int_{\alpha a}^{\alpha
b}\varphi(t)dt$
dla dowolnej liczby $\alpha>0$.

\item{z13.3} Udowodni�, �e dla funkcji prostych $\varphi_1$ i $\varphi_2$
mamy $\int_a^b(\varphi_1(x)+\varphi_2(x))dx=\int_a^b\varphi_1(x)dx+\int_a^b
\varphi_2(x)dx$

\item{z13.4} Niech $f:[0,1]\ni x\to \int_0^x t dt$. Korzystaj�c z
faktu, �e $\int_a^b g(t)dt$ jest polem pod wykresem funkcji $g$, poda�
wz�r na funkcj� $f$.
\enddocument
