Zaczniemy od zajączka Z, który beztrosko biega w koło, po łące. Właściwie nie biega, lecz skacze (kica). Jego trasa, zależna od p, q, r, zaczyna się w Z₀. Po T susach zajączek wraca do Z₀ i dalej już skacze po własnych śladach - jego ruch jest okresowy. Na poniższym dynamicznym rysunku zobaczysz pierwsze n skoków zajączka. Dla p = q = 0 jest to ruch po okręgu o promieniu r, a raczej po wielokącie foremnym wpisanym w ten okrąg (liczbę boków zmienisz parametrem T).

Zajączka goni wilk W. Startuje z W₀ i sadzi susami za zajączkiem z prędkością s razy mniejszą.
Dokładniej: w każdym skoku (np. z punktu W_k) kieruje się prosto na zajączka (będącego aktualnie w Z_k). Długość skoku wilka jest s-tą częścią długości aktualnego skoku zajączka:

Proponujemy kilka ćwiczeń empirycznych dotyczących powyższego rysunku:

Ćwiczenie 1.  
Znajdź takie położenie W₀, przy którym W₁ = Z₀. Jest ich wiele. Jaki tworzą zbiór?

Ćwiczenie 2.  
Znajdź takie położenie W₀, przy którym W₁ = Z₁.     Wsk. Jest tylko jedno takie położenie.

Ćwiczenie 3.  
Znajdź takie położenie W₀, przy którym W₂ = Z₁. Czy jest tylko jedno takie położenie?

Ćwiczenie 4.  
Znajdź takie położenie W₀, przy którym W₂ = Z₂. Czy jest tylko jedno takie położenie?

Dalej będziemy badać ruch wilka, zwany krzywą pogoni.
Na poniższym rysunku można ustawić n = T. Widać wtedy jeden okres ruchu zająca, czyli punkty od Z₀ do Z_T = Z₀ oraz część krzywej pogoni: punkty od W₀ do W_T.
Znajdź takie położenie W₀, przy którym wilk wróci do punktu startu, czyli gdy W_T = W₀ .
Sprawdź (empirycznie), że jest tylko jedno takie położenie, nazwijmy je W₀*.
Przy takim położeniu ruch wilka jest okresowy - dalej będzie biegł po własnych śladach - DLACZEGO?

W przypadku p = q = 0, gdy zając skacze po wierzchołkach wielokąta foremnego Z₀Z₁...Z_T-1, wilk, startując z tego szczególnego punktu W₀*, skacze też okresowo, też po wierzchołkach wielokąta foremnego, podobnego do trajektorii Z₀Z₁...Z_T-1 ruchu zajączka. Sprawdź. (Zmieniaj T, s.)

Zadanie 5.  
Niech zajączek skacze po wierzchołkach kwadratu o boku 1 (p = q = 0, T = 4). Podaj konstrukcję punktu W₀*, gdy s = 0,5.

Zadanie 6.  
Niech zajączek skacze po wierzchołkach sześciokąta foremnego o boku 1 (p = q = 0, T = 6). Podaj konstrukcję punktu W₀*, gdy s = 0,25.

Zadanie 7**.  
Niech zajączek skacze po wierzchołkach T-kąta foremnego o boku 1 (p = q = 0). Znajdź wzór opisujący miarę kąta W₀*Z₀Z₁, gdy s < 1.

Zobaczyliśmy poprzednio, że jest jeden szczególny punkt startu W₀*, przy którym ruch wilka jest okresowy. A jaki jest ruch wilka dla innych punktów startowych? Zobaczysz to na poniższym rysunku. Masz do dyspozycji dwa wilki W i W', możesz zobaczyć n < 400 początkowych susów.
Co widać?

Można poczynić wiele obserwacji:

Przy bardzo dużych n, przesuwając W₀, wydaje się, że coraz dalsze ślady wilka coraz mniej się ruszają, wydają się nieruchome, prawie niezależne od W₀ .

Zwiększając n widzimy, że wilki W i W' biegną coraz bliżej siebie.

Ustaw najpierw n = T. Przesuń W₀ tak, by pokryło się z W_T, czyli do punktu W₀*. Teraz zwiększaj n. Co widzisz? Widzisz, że ruch wilka W' coraz bardziej zgodny jest z ruchem okresowym wilka W. Zmieniaj pozycję startową W₀'. Widzisz teraz poniższe twierdzenie:

TWIERDZENIE.  
Gdy zajączek biega okresowo, to krzywa pogoni, niezależnie od punktu startu, z upływem czasu coraz bardziej przypomina ruch okresowy, ruch wilka startującego z punktu W₀*.
Innymi słowy: gdy zajączek biega okresowo, to sfora goniących go wilków, po pewnym czasie biegnie niemal okresowo tak, jak jeden wilk startujący z W₀*.

Uwaga 1.  
By sprecyzować powyższe twierdzenie potrzeba nieco pojęć matematyki wyższej.
Dla dowodu wystarczy uzasadnić, że:
   istnieje taka stała c < 1, że dla dowolnych dwóch pozycji startowych W₀, W₀' mamy:

Uwaga 2.  
Na poniższym rysunku widać, że

Uwaga 3.  
Dla dużego T ruch zajączka i wilków przypomina ruch płynny, bez skoków. W matematyce wyższej mówi się 'ciągły'. Gdy przyjmiemy, że zajączek i wilki poruszają się w sposób ciągły, to zagadnienie opisania krzywej pogoni jest dość trudnym problemem. Nawet w przypadku, gdy zajączek porusza się jednostajnie prostoliniowo, to by znaleźć krzywą pogoni, należy rozwiązać dość skomplikowane równanie różniczkowe. Sama odpowiedź ma też skomplikowaną postać.
W przypadku innych ruchów zajączka, opis dokładny krzywej pogoni może po prostu nie istnieć. Pozostają wtedy metody przybliżone. Jakie? Ano mniej więcej takie, jak widać było na powyższych rysunkach. Studenci matematyki powinni zobaczyć na nich metodę iteracyjną Eulera rozwiązania pewnego równania różniczkowego (jakiego równania?).

Uwaga 4.  
Można zapytać: po co ta cała zabawa? Czy jest jakieś zastosowanie praktyczne? Odpowiem wykrętnie. Wiele rzeczy w przyrodzie i technice przypomina gonitwę. Warto wiedzieć, co się dzieje, gdy obierzemy powyżej opisaną strategię pościgu (optymalną, przy pewnych założeniach).

Uwaga 5.   O strategiach pościgu i krzywych pogoni pisze Hugo Steinhaus w książce 'Kalejdoskop matematyczny'. Warto przeczytać.