U_6,5

 
Przypomnijmy jak powstają wianuszki płaskie.
We wnętrzu n-kąta foremnego rosną na jego bokach m-kąty foremne. Rosną tak długo, aż 'chwycą się za ręce', rosną dopóki ich wnętrza nie mają punktów wspólnych. Ów finalny układ wielokątów nazywamy wianuszkiem.
 
Nietrudno wyobrazić sobie, jak we wnętrzu sześcianu, na jego ścianach stoją małe sześciany. Gdy powiększymy je tak, że będą się stykać, ale ich wnętrza nie mają punktów wspólnych, to taki układ nazwiemy wianuszkiem sześcianów w sześcianie.

Jest nieskończenie wiele wielokątów foremnych. Brył foremnych (platońskich) jest tylko 5. Jednak bogactwo wianuszków 3D jest spore. Nie będziemy tu przedstawiać pełnej teorii wianuszków 3D. Ograniczymy się do kilku przykładów.

W poniższych zadaniach przedstawiono opisy pewnych wianuszków, opisy - delikatnie mówiąc - karkołomne. Główna trudność tych zadań polega na deszyfrowaniu tych opisów, na wyobrażeniu sobie owych wianuszków. Do każdego zadania są po dwie wskazówki. Wskazówka 1 zawiera rysunek ułatwiający zrozumienie treści zadania. Wskazówka 2 prawie rozwiązuje zadanie, bo zawiera rysunek (dynamiczny) opisanego w zadaniu wianuszka. Zatem przed kliknięciem warto pomyśleć i spróbować zrobić własny obrazek.

Wszystko się będzie działo w sześcianie o krawędziach długości a.

Zadanie 1.   Wianuszek sześcianów w dużym sześcianie o krawędziach długości a leży tak, że podstawy małych sześcianów leżą centralnie na ścianach dużego sześcianu i mają boki równoległe do boków ścian dużego sześcianu, na których leżą.

    a) Wyznacz x, długość krawędzi małych sześcianów.

    b) Jaka jest objętość najmniejszej bryły wypukłej zawierającej wszystkie punkty styku małych sześcianów?

Wskazówka 1.    
 
 
 
 
 
Rysunek obok jest tylko 'jednym kadrem z filmu' pokazującego jak rosną sześciany na ścianach dużego sześcianu. W finalnym wianuszku małe sześciany stykają się.

Zadanie 2.   Wianuszek sześcianów w dużym sześcianie o krawędziach długości a leży tak, że podstawy małych sześcianów leżą centralnie na ścianach dużego sześcianu i mają boki równoległe do przekątnych ścian dużego sześcianu, na których leżą.

    a) Wyznacz x, długość krawędzi małych sześcianów.

    b) Jaka jest objętość najmniejszej bryły wypukłej zawierającej wszystkie punkty styku małych sześcianów?

Wskazówka 1.    
 
 
 
 
 
Rysunek obok jest tylko 'jednym kadrem z filmu' pokazującego jak rosną sześciany na ścianach dużego sześcianu. W finalnym wianuszku małe sześciany stykają się.

Zadanie 3.   Wianuszek ośmiościanów foremnych leży w sześcianie o krawędziach długości a tak, że każdy ośmiościan 'stoi prosto' na jednym wierzchołku 'wbitym' w środek ściany sześcianu, przy czym krawędzie ośmiościanu wychodzące z 'wbitego' wierzchołka leżą 'nad' przekątnymi tej ściany sześcianu. Wyznacz x, długość krawędzi ośmiościanów.

Wskazówka 1.    
 
 
 
 
 
Rysunek obok jest tylko 'jednym kadrem z filmu' pokazującego jak rosną ośmiościany na ścianach sześcianu.
W finalnym wianuszku ośmiościany stykają się.

Zadanie 4.   Wianuszek ośmiościanów foremnych leży w sześcianie o krawędziach długości a tak, że każdy ośmiościan 'stoi prosto' na jednym wierzchołku 'wbitym' w środek ściany sześcianu, przy czym rzuty (prostopadłe) na tą ścianę krawędzi ośmiościanu wychodzących z 'wbitego' wierzchołka są równoległe do boków tej ściany sześcianu. Wyznacz x, długość krawędzi ośmiościanów.

Wskazówka 1.    
 
 
 
 
 
Rysunek obok jest tylko 'jednym kadrem z filmu' pokazującego jak rosną ośmiościany na ścianach sześcianu.
W finalnym wianuszku ośmiościany stykają się.

Nieco mniej regularności niż poprzednie ma poniższy wianuszek sześcianów w dużym sześcianie.

Zadanie 5.   W sześcianie o krawędziach długości a wybrano po jednej przekątnej ścian tak, że łącznie tworzą szkielet czworościanu. Centralnie na tych przekątnych leżą krawędzie małych sześcianów tworzących wianuszek w tym dużym sześcianie. W każdym małym sześcianie ściany przylegające do przekątnych ścian dużego sześcianu, tworzą z tymi ścianami kąty o mierze 45^o.

    a) Wyznacz x, długość krawędzi małych sześcianów.

    b) Jaka jest objętość najmniejszej bryły wypukłej zawierającej wszystkie punkty styku małych sześcianów?

Wskazówka 1.    
 
 
 
 
 
Rysunek obok jest tylko 'jednym kadrem z filmu' pokazującego jak rosną sześciany na ścianach dużego sześcianu. W finalnym wianuszku małe sześciany stykają się.