Połowiąca i pole, i obwód trójkąta

Rozgrzewka.   Wielokrotnie będziemy używać wzór:

  (*)           (p + q + r) 2   =   p2 + q2 + r2 + 2pq + 2pr + 2qr .

Uzasadnienie powyższego wzoru, dla p, q, r > 0, można odczytać z rysunku obok, po podpisaniu pól zanaczonych prostokątów.
Ten wzór jest prawdziwy dla WSZYSTKICH liczb.
(Wystarczy mozolnie pomnożyć (p + q + r)(p + q + r) i... już.)

 

 

Na rysunku obok prosta PQ dzieli trójkąt na dwie części o równych polach i obwodach.

Czy dla dowolnego trójkąta istnieje prosta dzieląca go
na dwie części o równych polach i obwodach?


 

 

 

Dla trójkątów osiowo symetrycznych (czyli trójkątów równoramiennych) owa oś symetrii oczywiście dzieli i pole, iobwód na połowy.


 
W trójkącie równoramiennym prostokątnym nie tylko oś symetrii dzieli obwód i pole na połowy. Na rysunku obok prosta A'C' || AC, gdzie BC'  =  1/, też jest 'dobra'. Sprawdź!

Na rysunku obok prosta A'C' dzieli trójkąt ABC na dwie części o równych obwodach, bowiem wystarczy sprawdzić (dlaczego?), że   BA' + BC'  =  (AB + AC + BC) .
 
Porównując podstawy trójkątów zauważmy, że
  PBA'C' = BC'/BC . PBA'C = BC'/BC . BA'/BA . PBAC .
Zatem prosta A'C' połowi pole, gdy  
       BA' . BC'  =  . BA . BC
Tak jest w istocie, bo
       (6-) . (6+)  =  62 - 6 = 30 = . 10 . 6.

 

 

Twierdzenie 1.
W trójkcie ABC niech a=BC, b=AC, c=AB i abc.
Niech A', C' leżą na bokach BA, BC i

Wtedy prosta A'C' dzieli pole i obwód trójkąta ABC na połowy.

Dowód. 

*   Nietrudno sprawdza się, że prosta A'C' dzieli obwód trójkąta ABC na połowy:

*   Prosta A'C' dzieli pole trójkąta ABC na połowy, bo widać, że a'c' = . ac, bowiem :

To nie koniec dowodu. Trzeba jeszcze sprawdzić kilka nierówności:

*   Wyrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne, bo

*   a' a, bo

*   c' c, bo

*   0 c', bo

*   0 a', bo

 

 


 
Uwaga 1.
Przy założeniach jak w Twierdzeniu 1. można pokazać, że
 
    A'C' || AC wtedy i tylko wtedy, b = (-1)(a+c),
 
bowiem

 

 


Uwaga 2.
Czy dla figury obok istnieje prosta, która dzieli jej pole i obwód na połowy?
To jest zadanie 'beznadziejne rachunkowo', tzn. wyznaczennie wzorem takie prostej jest niemożliwe.
Jednak można łatwo uzasadnić istnienie takiej prostej.

 

 


Uwaga 3.
W tekstach:
    Wszystkie połowiące pole trójkąta,
   Wszystkie połowiące obwód trójkąta,
   Połowiące trójkąta w zadaniach badaliśmy oddzielnie te dwie własności.