Odcinek koła (2)

Na rysunku widać odcinek koła, to znaczy jeden z dwóch obszarów ograniczonych okręgiem i cięciwą tego okręgu. Tu będziemy rozważać tylko mniejszy z tych dwóch obszarów, czyli taki, że środek koła nie leży we wnętrzu. W tekście Odcinek koła (1) wyznaczaliśmy geometrycznie (i elementarnie) PRZYBLIŻONE wzory na pole odcinka koła, w zależności od długości: a - łuku i b - cięciwy.

 

 

Nietrudno podać DOKŁADNY wzór na pole P odcinka koła, w zależności od promienia R okręgu i kąta mierzonego w radianach (p. rys.):
czyli

Wielkości a, b też można wyznaczyć w zależności od R i :

Uwaga 1.
Powyższe wystarcza już do zbadania błędu względnego wzoru PRZYBLIŻONEGO  P1 na pole odcinka koła (wyprowadzenie wzoru jest tam): Z wykresu powyższej funkcji dla z przedziału (0, /2] odczytujemy, że wartości mieszczą się w przedziale [-0,1 , 0,1]; błąd względny jest mniej niż 10 procentowy.
Tak samo można zbadać PRZYBLIŻONE wzory P2 i P3 (omawiane tam).

 

 

Jakie jest pole odcinka koła,
w zależności od wielkości a i b ?

Wystarczyłoby z zależności wyznaczyć R i , i wstawić do wzoru

Widać, że kłopot polega na wyznaczeniu takiego , że

Niech g oznacza funkcję o wzorze

i niech f oznacza funkcję odwrotną do g. Wtedy

Przy takich oznaczeniach

Byłby to poszukiwany wzór, gdyby tylko znaleźć wzór na f.

 

 

Takiego wzoru... nie ma, nie ma wzoru na z równania

Jesteśmy 'skazani' na przybliżenia.  

 

 

Uwzględniając, że dostajemy przybliżone równanie

skąd

Stąd kolejny wzór PRZYBLIŻONY

Gdy uwzględnimy, że , to poprzednie przybliżenie zamieni się na bardziej 'znośny' wzór:

Dokładność tego ostatniego wzoru nie jest zbyt wielka. Błąd względny nie przekracza 12,5%.
Gdy jednak uwzględnimy, że , to przybliżenie:

ma błąd względny nie większy od 1,2%.

 

 

Newton podał (dość) ogólny sposób uzyskiwania coraz lepszych przybliżeń rozwiązania równania
h(x) = 0 .
Mianowicie, gdy h' oznacza pochodną funkcji h i xn jest 'dość dobrym' przybliżeniem, to wartość
xn+1  =  xn - h(xn) / h'(xn)
jest lepszym przybliżeniem.
Ciąg (xn) jest zbieżny do (pewnego) rozwiązania równania h(x) = 0 .

Zastosujmy ten sposób dla funkcji , której dodatnie miejsce zerowe jest rozwiązaniem równania (sprawdź).
Ciąg przybliżeń otrzymamy z powyższego pomysłu Newtona
Zaczynając od 1= /2 dostajemy kolejno:

Uwzględniając te wartości we wzorze na pole

dostaniemy ciąg kolejnych przybliżeń:

Wzory te są coraz bardziej koszmarne.
Przy USTALONYCH wartościach a, b ciąg ten daje coraz lepsze przybliżenia wartości pola odcinka koła, jednak nie ma NIEZALEŻNEGO od a, b oszacowania tempa tej zbieżności. Na rysunku obok widać błędy względne początkowych pięciu tych wzorów. Dla każdego wzoru są takie wartości a, b (o ilorazie a/b bliskim 1), że błąd względny jest duży, co najmniej 50%. Zatem wzory te są nie tylko koszmarne, ale i marne.

 

 

Powyższe rozważania można uznać za raport z fiaska poszukiwań (dokładnego) wzoru. Doświadczenie podpowiada mi, że takiego wzoru nie ma. Jak to? Nie ma? Zbiory szkolnych zadań wypaczają ogląd matematyki w tym sensie, że sugerują, że matematyka odpowiada na każde pytanie. W rzeczywistości opisuje ona tylko bardzo mały skrawek swego pola badań. Zachwycające, że mimo to jest tak skuteczna w zastosowaniach w innych dziedzinach wiedzy.

Wzoru (pewnie) nie ma. Może się jadnak zdarzyć, że za jakiś czas pojawi się. Mianowicie gdy dostatecznie często ludzie będą natykać się na problem wyznaczenia z zależności , to uznają, że należy NAZWAĆ ową funkcję f, stablicować jej wartości, zaszyć w kalkulatorach jej przybliżenia i może nawet uczyć o niej w szkole. Wtedy uznamy, że istnieje ów poszukiwany wzór.

 

 

Powyższy tekst powstał po przeczytaniu artykułu Marka Kordosa 'Rozprawka o metodzie', Delta 7 (2015). Polecam!