Na rysunku widać odcinek koła, to znaczy jeden z dwóch obszarów ograniczonych okręgiem i cięciwą tego okręgu. Tu będziemy rozważać tylko mniejszy z tych dwóch obszarów, czyli taki, że środek koła nie leży we wnętrzu. Ponadto zakładamy, że znane są długości: a - łuku i b - cięciwy.

Podamy wzór na pole odcinka paraboli y = x²
o cięciwie o końcach A(a, a²), B(b, b²) w zależności od jego szerokości, to jest od wielkości h = |b-a|.

Pomysł 1.
Znajdziemy wzór na pole P₁ trapezu równoramiennego o dłuższej podstawie równej b i pozostałych bokach równych a/3. Taki trapez nieźle przybliża odcinek koła, zatem P₁ będzie PRZYBLIŻONYM wzorem na pole odcinka koła.

Z tw. Pitagorasa wyznaczamy wysokość takiego trapezu:
Stąd pole jest równe

Mamy zatem PRZYBLIŻONY wzór na pole odcinka koła:

Jak dobre jest to przybliżenie? Sprawdźcie:

Zadanie 1.   Wypełnij opis poniższych odcinków kół (P₁ oznacza przybliżone pole, a P - dokładne).

	a = . . . . . 3,1415926 b = . . . . . . . . . . P = /2 . . . . . P1 . . . . .	błąd względny (w %):    |P - P1| / P . . . . .
	a = . . . . . . . . . . b = . . . . . . . . . . P = . . . . . . . . . . P1 . . . . .	błąd względny (w %):    |P - P1| / P . . . . .
	a = . . . . . . . . . . b = . . . . . . . . . . P = . . . . . . . . . . P1 . . . . .	błąd względny (w %):    |P - P1| / P . . . . .
	a = . . . . . . . . . . b = . . . . . . . . . . P = . . . . . . . . . . P1 . . . . .	błąd względny (w %):    |P - P1| / P . . . . .

Pomysł 2.
Niech c będzie liczbą mniejszą od a o (a-b)/9, czyli niech   c = 8/9 ^. a + 1/9 ^. b.
Odcinek koła zastąpimy dziesięciokątem zbudowanym następująco:
Najpierw - jak poprzednio - budujemy trapez równoramienny, o podstawie b, i pozostałych bokach bokach równych c/3.
Na tych trzech bokach budujemy trapezy równoramienne o podstawach c/3 i pozostałych bokach równych a/9. Znajdziemy wzór na pole P₂ tak zbudowanego dziesięciokąta. Przybliża on odcinek koła, zatem P₂ będzie PRZYBLIŻONYM wzorem na pole odcinka koła.

Z tw. Pitagorasa wyznaczamy wysokość takiego trapezu:

Stąd pole jest równe

Mamy zatem PRZYBLIŻONY wzór na pole odcinka koła:

Jak dobre jest to przybliżenie? Sprawdźcie:

Zadanie 2.   Wypełnij opis poniższych odcinków kół (P₂ oznacza przybliżone pole, a P - dokładne).

	a = . . . . . 3,1415926 b = . . . . . . . . . . P = /2 . . . . . P2 . . . . .	błąd względny (w %):    |P - P2| / P . . . . .
	a = . . . . . . . . . . b = . . . . . . . . . . P = . . . . . . . . . . P2 . . . . .	błąd względny (w %):    |P - P2| / P . . . . .
	a = . . . . . . . . . . b = . . . . . . . . . . P = . . . . . . . . . . P2 . . . . .	błąd względny (w %):    |P - P2| / P . . . . .
	a = . . . . . . . . . . b = . . . . . . . . . . P = . . . . . . . . . . P2 . . . . .	błąd względny (w %):    |P - P2| / P . . . . .

Wyznaczmy wzór na pole takich specjalnych A-trójkątów:
 
Trójkąt PQR podzielmy odcinkiem RS prostopadłym do osi OX na dwa trójkąty o wspólnej podstawie RS . Obliczmy:
  |RS| = (p²+q²)/2 - ((p+q)/2)² =
        = p²/2 + q²/2 - p²/4 - q²/4 - 2pq/4 =
        = p²/4 + q²/4 - 2pq/4 = 1/4 ^. (q-p)² .
Stąd
(*)    pole trójkąta PQR = 2 ^. 1/2 ^. |RS| ^. |q-p|/2 = |q-p|³/8,

czyli: pole A-trójkąta jest równe 1/8 sześcianu szerokości odcinka paraboli, w którą jest wpisany.

(**)    Suma pól A-trójkątów z danego etapu jest 1/4 sumy pól trójkątów z poprzedniego etapu.

Faktycznie; z (*) wynika, że A-trójkąt z danego etapu ma pole równe 1/2³ pola A-trójkąta z etapu poprzedniego.

Ćwiczenie 1.   Oblicz pole odcinka paraboli  y = x²  o cięciwie AB, gdzie:
  a)  A(0,0) i B(2,4)      b)  A(1,1) i B(3,9)      c)  A(,²) i B(4,16)      d)  A(,2) i B(,5)

Co wystarczy wiedzieć, by poniższe ćwiczenie było bardzo łatwe?

Ćwiczenie 2.   Oblicz pole odcinka paraboli  y = (x - 3)² - 2  o cięciwie AB, gdzie:
  a)  A(0,0) i B(2,4)      b)  A(1,1) i B(3,9)      c)  A(,²) i B(4,16)      d)  A(,2) i B(,5)

Co wystarczy zmienić w wyprowadzeniu ogólnego wzoru, by poniższe ćwiczenia były bardzo łatwe?

Ćwiczenie 3.   Oblicz pole odcinka paraboli  y = (3x-2)² - 1  o cięciwie AB, gdzie:
  a)  A(0,0) i B(2,4)      b)  A(1,1) i B(3,9)      c)  A(,²) i B(4,16)      d)  A(,2) i B(,5)

Ćwiczenie 4.   Oblicz pole odcinka paraboli  y = (2x-3)(3x-4)  o cięciwie AB, gdzie:
  a)  A(0,0) i B(2,4)      b)  A(1,1) i B(3,9)      c)  A(,²) i B(4,16)      d)  A(,2) i B(,5)

Problem 1.   Czy można nieznacznie zmodyfikować powyższe rozumowanie tak, by otrzymać wzór na pole odcinka paraboli, przy następującej modyfikacji pojęcia A-trójkąta:
Wierzchołki A'-trójkąta leżą na paraboli i pierwsza współrzędna 'środkowego' dzieli w skali 2:3 odcinek pomiędzy pierwszymi współrzędnymi 'skrajnych' wierzchołków.

Uwaga 1.   Już Archimedes potrafił obliczyć pole odcinka paraboli. Powyższe rozumowanie jest częściowo wzorowane na jego pomyśle. Archimedes nie rachował, jego rozumowanie było geometryczne. (Na przykład umiał pokazać, że A-trójkąt ma największe pole wśród trójkątów zawartych w odcinku paraboli.) Ponadto jego rozumowanie było o wiele bardziej precyzyjne.

Wykres funkcji y = x³, dla x 0, jest linią podobną do (połowy) paraboli.

Na rysunku obok widać obszar ograniczony linią y = x³ i cięciwą tej linii o końcach
A(a, a³), B(b, b³), 0<a<b.

Rozumowanie niewiele różni się od tego dla paraboli. Poza rachunkami zmienić trzeba dowód (**). Sprawdź.

Pomysł polega na wypełnianiu tego obszaru nieskończoną kolekcją specjalnych trójkątów. Kolekcja jest tworzona etapami:

Kolejne etapy: 1,   2,   3,   4,   . . .

Po każdym etapie niewypełniona część jest sumą mniejszych obszarów o dwukrotnie mniejszych szerokościach. W następnym etapie wybieramy dwa razy więcej trójkątów niż w poprzednim.
Pole obszaru jest sumą pól tych wszystkich (nieskończenie wielu) specjalnych trójkątów.

Co to są za specjalne trójkąty? Nazwijmy je A-trójkątami.
Wierzchołki A-trójkąta leżą na linii y = x³, x0, i pierwsza współrzędna 'środkowego' leży dokładnie w środku pomiędzy pierwszymi współrzędnymi 'skrajnych' wierzchołków.

Wyznaczmy wzór na pole takich specjalnych A-trójkątów:
 
Trójkąt PQR podzielmy odcinkiem RS prostopadłym do osi OX na dwa trójkąty o wspólnej podstawie RS . Sprawdź, że:
  |RS| = (p³+q³)/2 - ((p+q)/2)³ =
        = p³/2 + q³/2 - p³/8 - 3p²q/8 - 3pq²/8 - q³/8 =
        = 3/8 ^. (p³ + q³ - p²q - pq²) = 3/8 ^. (q-p)^{2 .} (p+q).
 
Stąd    pole trójkąta PQR = 2 ^. 1/2 ^. |RS| ^. |q-p|/2,  czyli
(*)    pole trójkąta PQR = 3/8 ^. |q-p|^{3 .} (p+q)/2,
czyli: 
pole A-trójkąta = iloczynowi 3/8 sześcianu odległości pierwszych współrzędnych jego 'skrajnych' wierzchołków
i pierwszej współrzędnej 'środkowego' wierzchołka.

(**)    Suma pól A-trójkątów z danego etapu jest 1/4 sumy pól trójkątów z poprzedniego etapu.

Faktycznie:
Niech A-trójkąty T ', T '' z danego etapu 'leżą pod' A-trójkątem T z poprzedniego etapu, niech s', s'' i s oznaczają pierwsze współrzędne ich 'środkowych' wierzchołków oraz h - odległość pierwszych współrzędnych 'skrajnych' wierzchołków trójkąta T.
Stosując (*) mamy wtedy:
pole T ' + pole T '' = 3/8 (h/2)^{3 .} s' + 3/8 (h/2)^{3 .} s'' =
= 1/4 ^. 3/8 h^{3 .} (s'+s'')/2 = 1/4 ^. 3/8 h^{3 .} s = 1/4 ^. pole T.

Zatem pole badanego obszaru = 3/8 |b-a|³ (a+b)/2 ^. (1 + 1/4 + 1/4 ^. 1/4 + 1/4 ^. 1/4 ^. 1/4 + . . . ) .
Aby dokończyć rachunek oznaczmy:   L = 1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + . . . .
Ponieważ  4 ^. L = 4 + 1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + . . . , więc  4 ^. L = 4 + L, skąd  L = 4/3.
Zatem poszukiwany wzór jest następujący:

pole badanego obszaru = 3/8 |b-a|³(a+b)/2 ^. 4/3  =  1/4 |b-a|³(a+b) .