Kwadratowe przekroje czworościanu

Nie publikować PRZED rozwiązaniem zadania 66 z maratonu!
W przestrzeni gorzej widać. Dlatego też zadania 'na dowodzenie' mogłyby być bardziej naturalne, mogłyby wyjaśniać związki, które na płaskim rysunku trudno dostrzec. Jednak geometria szkolna unika takich tematów. Zobacz dlaczego. (Przedtem przeczytaj tekst Kąt pomiędzy skośnymi prostymi.)

Nauczyciele z praktyką wiedzą, że niektóre rozumowania w geometrii bywają kłopotliwe, nawet 'niebezpieczne'. Dotyczy to na przykład tych, które 'ocierają się' o aksjomaty. Szkolna geometria obecnie nie wyjaśnia czym są aksjomaty (tu też nie będziemy tego czynić). W geometrii płaszczyzny takie problemy 'zamiatamy pod dywan'. Na przykład pytanie nauczyciela dlaczego AB || CD? uczeń traktuje jako dziwactwo przynależne tej godzinie lekcyjnej, ponieważ z rysunku dobrze widać, że tak jest. Zadania egzaminacyjne (na szczęście?) rzadko dotykają takich problemów, więc przymykamy na to oko.
W geometrii przestrzeni gorzej widać, tu często przydałyby się argumenty. Program szkolny omija tego typu zagadnienia. Chyba słusznie. Zobaczmy dlaczego, na podstawie rozwiązania poniższych dwóch zadań. (Przedtem jednak przeczytaj tekst Kąt pomiędzy skośnymi prostymi.)

Zadanie 1.
Czy dowolny czworościan można tak przeciąć (płaszczyzną), że przekrojem jest kwadrat?

Zadanie 1a.
Jeśli czworościan można tak przeciąć, że przekrojem jest kwadrat, to na ile sposobów można tak zrobić?

Założenie.
Będziemy rozważać tylko takie cięcia wielościanu, że płaszczyzna cięcia nie zawiera żadnego z wierzchołków wielościanu. Nie zmieni to odpowiedzi na powyższe pytania (dlaczego?), a nieco ułatwi poniższe rozważania.

Obserwacja 1.
Jeśli płaszczyzna przecina ścianę wielościanu wypukłego, to część wspólna jest odcinkiem o końcach na dwóch bokach tej ściany.

Obserwacja 1'.
Jeśli przekrojem czworościanu jest czworokąt, to przecina on wszystkie cztery ściany czworościanu i jego wierzchołki leżą na czterech z sześciu krawędzi czworościanu.

Obserwacja 2.
Jeśli przekrojem czworościanu jest czworokąt, to nie przecina on dwóch krawędzi skośnych (nie mających wspólnego wierzchołka).

Dowód. Bowiem gdyby płaszczyzna cięcia nie przecinała dwóch krawędzi o wspólnym wierzchołku, np. AB i AC, to nie przecinałaby i trzeciej krawędzi BC (na podstawie Obserwacji 1.), więc nie przecinałaby tej ściany, co przeczy Obserwacji 1'.

Dalsze rozważania będziemy prowadzić przy następujących oznaczeniach:

Oznaczenia.
Czworościan ABCD jest przecięty płaszczyzną P tak, że przekrojem jest czworokąt KLMN, który nie przecina krawędzi AB i CD oraz :
    wierzchołek K leży na krawędzi AC,
    wierzchołek L leży na krawędzi BC,
    wierzchołek M leży na krawędzi BD,
    wierzchołek N leży na krawędzi AD.

Rysunek utworzono przy użyciu programu C.a.R.
Można przesuwać suwaki i 'wypełnione' punkty K, L, M.

Obserwacja 3.
Jeśli prosta AB przecina płaszczyznę P (w punkcie E), to proste KL i MN przecinają się (w E).

Dowód. Na płaszczyźnie ABC leżą punkty K, L (to oczywiste) oraz punkt E (bo leży na prostej AB zawartej w tej płaszczyźnie). Przecięcie płaszczyzn P i ABC jest pewną prostą. Punkty K, L, E leżą w tym przecięciu, więc to przecięcie jest prostą KL. Zatem punkt E leży na prostej KL.
Analogicznie: w przecięciu płaszczyzn P i ABD leżą punkty M, N, E, zatem E leży na prostej MN.
Stąd mamy: proste KL i MN przecinają się w punkcie E.

Obserwacja 3'.
Jeśli prosta AB nie przecina płaszczyzny P, to KL || AB , MN || AB oraz KL || MN.

Dowód. Proste: AB i KL leżą w jednej płaszczyźnie (w płaszczyźnie ABC) i nie mają punktów wspólnych (bo KL leży na P), zatem są równoległe.
Analogicznie: proste AB i MN są równoległe.
Gdyby proste: KL i MN miały punkt wspólny, to leżałby on na płaszczyźnie P i w przecięciu płaszczyzn, w których one leżą, czyli w przecięciu płaszczyzn ABC i ABD, czyli na prostej AB, co przeczy założeniu.
Stąd proste KL i MN leżą w jednej płaszczyźnie (P) i nie mają punktów wspólnych, zatem są równoległe.

Uwaga.
Dla trzech prostych x, y, z leżących na płaszczyźnie jest prawdą, że

jeśli x || y i y || z , to x || z, co wynika z aksjomatu: przez punkt poza daną prostą przechodzi dokładnie jedna prosta równoległa do tej prostej. W przestrzeni też tak jest, jeśli odpowiednio określić równoległość dwóch prostych w przestrzeni (czego tu nie będziemy rozważać).
Nieco inne uzasadnienie można uzyskać stosując stwierdzenie przez punkt poza prostą przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna zawierająca tę prostą, które wynika z aksjomatu: przez trzy niewspółliniowe punkty przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna.

Z powyższych obserwacji mamy następujące wnioski:

Wniosek 4.
Jeśli KL || AB, to KL || MN .

Wniosek 5.
KL || MN wtedy i tylko wtedy, gdy prosta AB nie przecina płaszczyzny P.

Wniosek 6.
KLMN jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy proste AB i CD nie przecinają płaszczyzny P.

Wniosek 5'.
Czworokątny (płaski) przekrój czworościanu jest trapezem wtedy i tylko wtedy, gdy płaszczyzna czworokąta nie przecina przedłużenia którejś z krawędzi czworościanu.

Wniosek 6'.
Czworokątny przekrój czworościanu jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy płaszczyzna czworokąta nie przecina przedłużeń dwóch krawędzi czworościanu.

Obserwacja 7.
Jeśli dwie równoległe płaszczyzny P i P' mają w przecięciu z czworościanem ABCD czworokątne przekroje KLMN i K'L'M'N', gdzie pary K, K', L, L', M, M' i N, N' leżą na tych samych krawędziach, to

KL || K'L', LM || L'M', MN || M'N', NK || N'K'. Ponadto, gdy K' leży na odcinku KC, to KL > K'L', LM < L'M', MN > M'N', NK < N'K'. Co więcej, gdy KLMN jest równoległobokiem, to K'L'M'N' też jest równoległobokiem.

Dowód.
Proste KL i K'L' oczywiście nie przecinają się i leżą w jednej płaszczyźnie (ABC), więc są równoległe. Podobnie jest dla pozostałych par.
Nierówności wynikają z równoległości (patrz na poszczególne ściany).
Ostatnia teza wynika z Wniosku 6.

Wniosek 8.
Jeśli dwie płaszczyzny P i P' nie przecinają krawędzi AB i CD, to ich przekroje KLMN i K'L'M'N' z czworościanem są równoległobokami o jednakowych kątach.
Co więcej kąt (nierozwarty) w tych równoległobokach jest taki, jak kąt, który tworzą proste AB i CD.

Obserwacja 9.
Jeśli KLMN jest równoległobokiem, to istnieje dokładnie jedna płaszczyzna P' równoległa do płaszczyzny P taka, że jej przekrój K'L'M'N' z czworościanem jest rombem.

Dowód.
Jeśli P' leży blisko AB, to K'L' ma długość prawie równą AB, a L'M' prawie zero.
Jeśli P' leży blisko C, to K'L' ma długość prawie równą 0, a L'M' prawie równą CD.
Zatem zmieniając P' w sposób ciągły od jednej pozycji do drugiej, długość K'L' maleje, L'M' rośnie. 'Gdzieś po drodze' dostaniemy równość długości: K'L' i L'M'.
(Inne uzasadnienie: wykorzystując podobieństwo trójkątów nietrudno sprawdzamy, że teza zachodzi, gdy K'C/AC = AB / (AB + CD). )

liczba przekrojów
Rysunek utworzony apletem www.javaview.de/
Można na nim manipulować myszą.

Wniosek 10.
Każdy czworościan można przeciąć na dokładnie trzy sposoby tak, by przekrojem był romb.

Wniosek 11.
Istnieje prostokątny przekrój czworościanu wtedy i tylko wtedy, gdy w czworościanie jest para krawędzi skośnych, które tworzą kąt 90^o.

Wniosek 12.
Istnieje kwadratowy przekrój czworościanu wtedy i tylko wtedy, gdy w czworościanie jest para krawędzi skośnych, które tworzą kąt 90^o.

Wniosek 12'.
Liczba kwadratowych przekrojów czworościanu jest równa liczbie par jego krawędzi skośnych, które tworzą kąt 90^o.

Aby otrzymać odpowiedź do zadania 1' potrzebna nam jest jeszcze jedna obserwacja. Inaczej niż poprzednio, do jej dowodu użyjemy języka wektorów. Bardzo krótki rachunkowy dowód jest swoistą reklamą wektorów. (Jednak trzeba pamiętać, że pomijamy tu uzasadnienia faktów, na których oparte są poniższe rachunki.)

Powiemy, że czworościan ABCD jest rozpięty przez wektory , , , gdy są zaczepione w jednym punkcie (np. A) i mają końce w pozostałych wierzchołkach czworościanu (np. ma koniec w B, ma koniec w C, ma koniec w D).
W języku wektorów prosta AB tworzy z prostą CD kąt 90^o gdy ( - ) = 0.