Na piątek 16 IX należy wykonać następujące zadania:
1) Rozważmy monoid (X,*). Pokazać, że jeśli x i y to odwracalne elementy X, to x*y też jest odwracalnym elementem X.
2) Czy dwa różne elementy monoidu (X,*) mogą mieć wspólny element odwrotny? Podaj przykład lub udowodnij, że tak nie może być.
3) Dla poniższych przykładów par (X,*) stwierdzić czy:
       a) (X,*) jest półgrupą?
       b) (X,*) jest monoidem? Jeśli TAK to wskazać element neutralny.
       c) * jest przemienne w X?
       d) [o ile w b) było TAK] każdy element ma element odwrotny? Jeśli TAK, to wskazać jak się go wyznacza (np. dla (Z,+) elementem odwrotnym do x jest -x).
       e) (X,*) ma zero? Przez zero rozumiemy element 'z' ze zbioru X, który dla każdego 'x' ze zbioru X, spełnia z*x=z=x*z.
  Przykłady:
       I) (Liczby całkowite parzyste, dodawanie)
       II) (Liczby całkowite nieparzyste, dodawanie)
       III) (Liczby całkowite nieparzyste, mnożenie)
       IV) (Liczby rzeczywiste, * zdefiniowana przez x*y=(x+y)/2)
       V) (Liczby naturalne, x*y=max(x,y))
       VI) (Liczby naturalne, x*y=min(x,y))
       VII) (Liczby całkowite, x*y=max(x,y))
Odpowiedź na każdy podpunkt należy uzasadnić, przy czym można się powoływać na łączność i przemienność dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych.

Na piątek 23 IX należy wykonać następujące zadania:
1) Rozważmy monoid (X,*). Pokazać, że jeśli istnieje 'z' w X, który jest jednocześnie elementem neutralnym i zerem, to X={z}.

2) Dla poniższych przykładów [są to inne przykłady niż tydzień temu] par (X,*) stwierdzić czy:
       z) * jest działaniem w X?
       a) (X,*) jest półgrupą?
       b) (X,*) jest monoidem? Jeśli TAK, to wskazać element neutralny.
       c) * jest przemienne w X? Tzn. czy dla każdych x,y z X mamy x*y=y*x?
       d) [o ile w b) było TAK] każdy element ma element odwrotny? Jeśli TAK, to wskazać jak się go wyznacza (np. dla (Z,+) elementem odwrotnym do x jest -x).
       e) (X,*) ma zero? Przez zero rozumiemy element 'z' ze zbioru X, który dla każdego 'x' ze zbioru X, spełnia z*x=z=x*z.
  Przykłady:
       I) (Liczby złożone, mnożenie)
       II) (Liczby niewymierne, mnożenie)
       Poniższe przykłady są nieobowiązkowe, ale rozwiązanie ich przy tablicy będzie wyżej punktowane:
       III) (P(X), suma mnogościowa), czyli np. {1,2}*{1,3}={1,2,3}. Tutaj X to dowolny zbiór, a P(X) - jego zbiór potęgowy, czyli zbiór podzbiorów X.
       IV) (Wszystkie funkcje X->X, składanie funkcji), gdzie X jest dowolnym zbiorem.
       V) (A+, konkatenacja), przy czym: A to dowolny zbiór; A+ to zbiór skończonych (o dodatniej długości) ciągów elementów A; konkatenacja 'a*b' dwóch ciągów 'a' oraz 'b' to wstawienie na koniec ciągu 'a' ciągu 'b' - np. (1,2,3)*(4,5,6)=(1,2,3,4,5,6).
Odpowiedź na każdy podpunkt należy uzasadnić, przy czym można się powoływać na łączność i przemienność dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych.

3) [Nieobowiązkowe] Dla półgrupy (X,*) wymyśleć działanie '#' w P(X) odwołujące się w swojej definicji do działania '*' tak, aby (P(X),#) też było półgrupą.


Na piątek 30 IX należy wykonać następujące zadania:
1) Zadanie 1 z Listoskryptu 1.
Na piątek 7 X należy wykonać następujące zadania:
1) Zadanie 5 z Listoskryptu 1.
Na piątek 21 X należy wykonać następujące zadania:
1) Zadania 2 i 3 z Listoskryptu 2.
Zadanie domowe na piątek 9 XII w poniższym linku:
Zadanie domowe
Zadanie domowe na piątek 16 XII:
Znaleźć dwie nietrywialne, właściwe podgrupy grupy kwaternionów (uzasadnić dlaczego są to podgrupy).

Zadanie domowe na piątek 13 I:
Brak (zadawanie zadań domowych na święta to grzech).

Zadanie domowe na piątek 27 I:
Zadanie 4 z listy 3.
Pytania naprowadzające: wiemy już, że każda pogrupa Z jest postaci kZ - tzn. zbiorem liczb całkowitych podzielnych przez k.
Jakie musi być k, by 14 leżało w kZ? Jakie musi być k by 14 i 6 leżały w kZ?
Jak mają się do siebie (w sensie zawierania zbiorów) 7Z i 14Z?
Na marginesie: to rozumowanie dowodzi (niekonstruktywnie, tzn. nie dając metody znajdowania a i b) Tożsamości Bézouta
- wspomnianej, lecz nienazwanej przez mnie na lekcji.

Podpowiedzi do innych zadań (nie jest to część zadania domowego):
Z3. Trzeba napisać bijekcję f:G/H->H\G. Naiwne f(gH)=Hg nie działa (czemu?). Może można je delikatnie zmodyfikować?
Z7. Mogło to już być na lekcji...
Z9. Wziąć podgrupę generowaną przez skończenie wiele liczb wymiernych i pokazać, że nie jest to całość.

Pula zadań na piątek 10 III:
Zadania 1-10 z listy 4.
Gdyby ktoś zapomniał - dla elementu g grupy G, przez rząd g (oznaczany czasem ord g), rozumiemy minimalną dodatnią liczbę naturalną k dla której k-krotne pomnożenie g przez siebie (k-ta potęga g) daje element neutralny.
Jeżeli taka liczba nie istnieje, to mówimy, że rząd g jest nieskończony i oznaczamy ord g = ∞.
Spróbujemy przerobić jak najwięcej zadań, a jak starczy czasu to ponowimy walkę z podgrupami generowanymi.

Pula zadań na piątek 17III:
Zadania 6,10,11,13-15 z listy 4
Uwaga: Zadanie 1 jest dość ciężkie, a jego rozwiązanie mało związane z tym co robimy. Dlatego już nie proponuję by je robić na lekcji, ale ciekawscy mogą znaleźć rozwiązanie np. tutaj.
Wskazówki:
10. Można oszacować ord(ab) z góry i z dołu - znaleźć oba oszacowania i wytłumaczyć czemu nie ma lepszych.
11. Nie chodzi o to by wypisać wszystkie jej elementy, a np. wskazać jakiej postaci jest każdy element.
13. Postać elementu w podgrupie generowanej.
14. Niech moc będzie z Wami!
15. Przeczytać wskazówkę w treści.
Pula zadań na piątek 24 III:
Zadanie 15 z listy 4 oraz zadania 1-4 z listy 5
Pula zadań na piątek 31 III:
Zadanie 15 z listy 4 oraz zadania 2-9 z listy 5
Pula zadań na piątek 14 IV:
Zadania 7-9 z listy 5 oraz cała lista 6
Pula zadań na piątek 28 IV:
[Te same zadania co na piątek 21 IV + zadanie pozalistowe (również deklarowalne jako zadanie domowe)]
Zadanie pozalistowe 1: Wyznaczyć centrum D_8 (czyli grupy izometrii własnych 8-kąta foremnego). Nie jest to grupa trywialna.
Zadania 7-9 z listy 5 (ostatnia szansa)
Zadania 3,4,6,7,10,11 z listy 6 (zadanie 2 wynika z tego, że podana podgrupa jest indeksu 2)
Cała lista 7