Differential Geometry and Topology Seminar

Robert Tang: Covering maps and hulls in the curve complex

Łukasz Grabowski: Egzotyczne miary spektralne błądzerń losowych na dyskretnych grupach

Streszczenie: Przedstawię przykłady skończenie generowanych grup (produkty wiankowe podobne do standardowej grupy latarnika), na których błądzenie losowe ma ciekawe własności spektralne. Jedna z tych wlasności to zerowy niezmiennik Gromova-Shubina. Istnienie takiego błądzenia losowego obala jedną z hipotez z artykulu „L²-topological invariants of 3-manifolds” Lotta i Lücka. Druga własność to ciągła miara spektralna której absolutnie ciagla czesc jest trywialna. Ten przyklad otrzymamy jako błądzenie losowe na standardowej grupie latarnika, co jest tym bardziej interesujące, ze Grigorczuk i Żuk skonstruowali błądzenie losowe na grupie latarnika którego spektrum jest punktowe. Oba te przykłady to wyniki uzyskane wraz z B. Viragiem. „Twarda analiza”, która pozwala na ich uzyskanie pochodzi z fizyki matematycznej, z dośc dobrze znanych rezultatów dotyczących losowych operatorów Schöredingera.

Jacek Świątkowski: Topologiczna charakteryzacja brzegów grafów grup

Jan Dymara: NTBA

Aleksander Sisto: Metric embeddings of relatively hyperbolic groups

Abstract: Relatively hyperbolic groups form a rich class of groups containing many examples coming from, e.g., 3-manifolds theory. I will discuss quasi-isometric embeddings of relatively hyperbolic groups in products of trees and a-bit-worse-than-quasi-isometric embeddings into real hyperbolic spaces with a collection of horoballs removed. Based on joint works with John MacKay.

Sylwia Antoniuk: Kiedy grupa losowa staje się trywialna

Streszczenie: Niech Γ(n,p) będzie grupą generowaną przez losową prezentację ⟨S|R⟩, gdzie S={s₁,…,s_n} jest zbiorem n generatorów, a R jest losowym zbiorem relacji o długości 3, tj. cyklicznie zredukowanych słów długości 3 nad alfabetem S∪S^-1, przy czym każda taka relacja jest obecna w R niezależnie z prawdopodobieństwem p. Powyższy model grupy losowej jest równoważny modelowi Żuka, który badał asymptotyczne zachowanie grup w tym modelu przy liczbie generatorów n dążącej do nieskończoności.
W szczególnoіci Żuk pokazał, że dla ε>0 jeśli p<n^−3/2−ε, wtedy asymptotycznie prawie na pewno losowa grupa Γ(n,p) jest nieskończona i hiperboliczna, natomiast dla p>n^-3/2+ε, asymptotycznie prawie na pewno ta grupa trywializuje się.
Pokażemy, że wynik Żuka dotycz¡cy drugiej z tych nierówności da się poprawić, tzn. pokażemy, że istnieje taka stała C>0, że dla p>Cn^−3/2 asymptotycznie prawie na pewno Γ(n,p) jest grupą trywialną.

Kacper Zadnik: Flat torus theorem and flat closing conjecture for CAT(0) spaces

Abstract: I will present a famous (known and conjectural) interplay between a discrete group G acting properly cocompactly by isometries on a CAT(0) space X and the geometry of X. It is about free abelian subgroups of rank >1 in G and flats (subspaces isometric to Rⁿ for n>1) in X. We know that whenever G contains Zⁿ, X must contain Rⁿ, but the converse is unknown. Importance comes from the fact that X as above is hyperbolic (δ-hiperbolic in the sense of Gromov for some delta) if and only if it contains a flat, so conjectural converse would give an algebraic obstruction for CAT(0) group being hyperbolic.

Krzysztof Cashen: Quasi-isometries of graphs of free groups amalgamated over cyclic subgroups, more rigidity than one might expect

Abstract: I will talk about how to build quasi-isometries between graphs of free groups amalgamated over cyclic subgroups. This leads to considering quasi-isometries of free groups that preserve the cosets of a collection of cyclic subgroups. By looking at the boundary at infinity, we see in the generic case that such quasi-isometries must actually be isometries of a certain geometric model of the free group.

Jakób Antolin-Pichel: Automorphism of groups with hyperbolically embedded subgroups

Abstract: In this talk I will explain the meaning of the following statement: point-wise inner automorphism of groups with hyperbolically embedded subgroups are inner. I will sketch a proof and discuss some applications and generalizations.
This is a work in progress with A. Minasyan and A. Sisto.

Jarek Weksej: Pełna charakteryzacja nerwów prostokątnych grup Coxetera, dla których brzegiem tych grup jest zbiór Cantora.

Dariusz Buraczewski: O twierdzeniu Grigorczuka-Żuka

Streszczenie: Podczas wykładu opowiem o spacerach losowych na grupach dyskretnych. Pokażę kilka przykładów, gdzie można wyznaczyć pełne spektrum operatora przejścia. Głównym punktem będzie dowód twierdzenia Grigorczuka-Żuka. Mówi ono, że spektrum na grupie latarnika jest punktowe.

Michał Marcinkowski: Jednostajnie skończone homologie. Zastosowania.

Streszczenie: Jednostajnie skończone homologie przestrzeni metrycznej to wersja teorii homologii, w której zawężamy przestrzeń łańcuchów do ograniczonych funkcji niesionych przez sympleksy o jednostajnie ograniczonych średnicach. Omówię dwa zastosowania tej teorii:

• Homologiczną charakteryzację wymiaru makroskopowego zwartych rozmaitości i wniosek, że w przypadku gdy rozmaitość jest istotna i ma średniowalną grupę podstawową wymiar makroskopowy = wymiar topologiczny (wg. pracy Dranisznikowa).
• Konstrukcję nieokresowych parkietaży pewnych nakryć zwartych rozmaitości.

Jakub Gismatullin: O topologii logicznej, uzwarceniach Bohra i topologii proskończonej na grupie wolnej

Streszczenie: Zamierzam wyjaśnić co to jest topologia logiczna na grupie ze strukturą logiki pierwszego rzędu. Wyjaśnię w jaki sposób przy jej pomocy można opisać: wszystkie uzwarcenia dowolnej grupy topologicznej G, w tym również uniwersalne uzwarcenie nazywane uzwarceniem Bohra, oraz uniwersalny G-potok. W drugiej części uogólnię pewien wynik Nikolova-Segala o komutancie skończenie generowanych grup proskończonych na grupy skończenie generowane z topologią proskończoną.

Jacek Świątkowski: Hierarcha topologicznej zlozonosci brzegow grup hiperbolicznych.

Streszczenie: Wiadomo, że brzegi Gromova grup hiperbolicznych dopuszczają opis jako granice odwrotne pewnej prostej klasy systemów odwrotnych złożonych z kompleksów symplicjalnych. W tej klasie przestrzeni topologicznych opiszę pojęcie stopnia topologicznej złożoności. Omówię dokładniej podklasę o najniższym stopniu topologicznej złożoności, wskazując, że w ich przypadku można mówić o namiastce klasyfikacji, oraz przedyskutuję problem realizacji takich przestrzeni jako brzegów Gromova pewnych grup hiperbolicznych. Omówię też związki pomiędzy stopniem topologicznej złożoności a innymi topologicznymi własnościami przestrzeni, i na tej podstawie zrobię przegląd znanych grup hiperbolicznych, których brzeg Gromova ma wyższy stopień topologicznej złożoności.

Paweł Zawiślak: (Brzegowe) drzewa rozmaitości z brzegami

Streszczenie: (Brzegowe) drzewa rozmaitości z brzegami są analogonami badanych m.in. przez W. Jakobschego drzew rozmaitości zamkniętych. Są one pewnymi uzwarceniami przestrzeni powstałych z rodziny rozmaitości z brzegami (tego samego wymiaru), indeksowanej wierzchołkami drzewa (przeliczalnego, lokalnie nieskończonego), poprzez jednoczesne wykonanie operacji sumy spójnej (i sumy brzegowej) wzdłuż indeksowanej zorientowanymi krawędziami drzewa rodziny dysków zawartych we wnętrzu (i na brzegu) tych rozmaitości. W trakcie swojego referatu chciałbym przypomnieć konstrukcję ww. przestrzeni i pokazać ich podstawowe własności (jedyność dla danej rodziny rozmaitości, wymiar).

Jarek Kędra: O monotonicznie lagranżowskich podrozmaitościach w Cⁿ (praca z Jonatanem Evansem) i nie tylko

Krzysztof Pittet: Flat principal bundles and bounded cohomology

Abstract: Let G be a connected Lie group and let G^δ be the same group with the discrete topology. Characteristic classes of the classyfing space BG may be bounded or unbounded when vieved in the classifying space BG^δ We give a geometric criterion for boundedness. This is joint work with I. Chatterji and G. Mislin.

Światosław Gal: O pracy z Andrzejem Derdzińskim (O niezmienniczych metrykach Einsteina na prostych grupach Liego) i nie tylko

Łukasz Garncarek i Kamil Duszenko: Separowalnośc klas sprzężoności w grupach Coxetera i nie tylko

Jan Czajkowski: O pewnym szacowaniu na prawdopodobieństwo unifikacji w perkolacji na grupach Coxetera i nie tylko

Kamil Duszenko: Sprawozdanie z Park City
Światosław Gal: i nie tylko