Discrete harmonic analysis seminar - past schedule for the year 2013/2014:
Current page of the seminar is available here.
|
|
Discrete harmonic analysis seminar - past schedule for the year 2013/2014:Current page of the seminar is available here. |
Zostaną omówione różne scenariusze długoczasowego zachowania markowskich półgrup dynamicznych na C^* i W^* - algebrach (tzw. półgrupy kwantowe opisujące ewolucję w czasie). W centrum zainteresowania są takie układy dynamiczne, których długoczasowe zachowanie prowadzi do niebanalnej struktury asymptotycznej mogącej być ujętej jako nowy układ dynamiczny na pewnej C^* albo W^*-podalgebrze algebry wyjściowej (zwany efektywnym układem dynamicznym). Szczególnie godne uwagi są takie układy dynamiczne, dla których efektywna dynamika posiada dodatkową strukturę w porównaniu do wyjściowej dynamiki, która to struktura pozwala na dalsze reinterpretacje dynamiki efektywnej niemożliwe do osiągnięcia dla dynamiki wyjściowej. Tematyka seminarium będzie skoncentrowana wokół konstrukcji modeli realizujących wskazane scenariusze. Zostaną zaprezentowane z większą ilością szczegółów prostsze modele ilustrujące myśl ogólną. Również zostanie zaprezentowany szkic dowodu (w wersji dla przypadku W^*-algebr skończonego typu) ogólnego twierdzenia dotyczącego asymptotycznych zachowań kwantowych półgrup dynamicznych.
Wielomiany Jacka $J^{\alpha}_{\lambda}(x)$ ($x$ jest skończonym lub nieskończonym wektorem zmiennych), to rodzina wielomianów symetrycznych, indeksowanych partycją liczby naturalnej $\lambda$ i liczbą rzeczywistą $\alpha$. Tworzą bazę ortogonalną w pierścieniu funkcji symetrycznych $\Lambda$. Najprościej, choć w sposób niekonstrukcyjny (twierdzenie postuluje istnienie pewnej rodziny wielomianów) definiuje się je przez relacje ortogonalności w $\Lambda$. Wielomiany Jacka są uogólnieniem wielu rodzin wielomianów symetrycznych, włączając w to wielomiany Schura ($\alpha = 1$), wielomiany zonalne ($\alpha = 2$), kwaternionowe wielomiany zonalne ($\alpha = 1/2$) i jednomianowe funkcje symetryczne ($\alpha = \infty$). Jak się okazuje, wielomiany Jacka są funkcjami własnymi operatora różniczkowego, który jest jednocześnie Hamiltonianem w modelu Calogero–Sutherlanda–Mosera. Dzięki tej własności i trójkątnemu działaniu Hamiltonianu CSM na symetryczne jednomiany, funkcje Jacka można obliczyć za pomocą formuły rekurencyjnej. Funkcje Jacka mają też zastosowanie przy ułamkowym, kwantowym efekcie Halla. Jacki indeksowane ujemnym parametrem i specyficzną partycją, są po pomnożeniu, przez trywialny czynnik gaussowski funkcją falową opisującą stan Laughlina (współczynnik wypełnienia $\nu =\frac{1}{2n}$, n - liczba naturalna).
Wielomiany Jacka $J^{\alpha}_{\lambda}(x)$ ($x$ jest skończonym lub nieskończonym wektorem zmiennych), to rodzina wielomianów symetrycznych, indeksowanych partycją liczby naturalnej $\lambda$ i liczbą rzeczywistą $\alpha$. Tworzą bazę ortogonalną w pierścieniu funkcji symetrycznych $\Lambda$. Najprościej, choć w sposób niekonstrukcyjny (twierdzenie postuluje istnienie pewnej rodziny wielomianów) definiuje się je przez relacje ortogonalności w $\Lambda$. Wielomiany Jacka są uogólnieniem wielu rodzin wielomianów symetrycznych, włączając w to wielomiany Schura ($\alpha = 1$), wielomiany zonalne ($\alpha = 2$), kwaternionowe wielomiany zonalne ($\alpha = 1/2$) i jednomianowe funkcje symetryczne ($\alpha = \infty$). Jak się okazuje, wielomiany Jacka są funkcjami własnymi operatora różniczkowego, który jest jednocześnie Hamiltonianem w modelu Calogero–Sutherlanda–Mosera. Dzięki tej własności i trójkątnemu działaniu Hamiltonianu CSM na symetryczne jednomiany, funkcje Jacka można obliczyć za pomocą formuły rekurencyjnej. Funkcje Jacka mają też zastosowanie przy ułamkowym, kwantowym efekcie Halla. Jacki indeksowane ujemnym parametrem i specyficzną partycją, są po pomnożeniu, przez trywialny czynnik gaussowski funkcją falową opisującą stan Laughlina (współczynnik wypełnienia $\nu =\frac{1}{2n}$, n - liczba naturalna).
Podstawowe funkcje specjalne, takie jak hipergometryczna, konfluentna, Bessela, Legendre'a, Webera, wielomiany Jacobiego, Laguerre'a, Hermite'a dawniej należały do centralnych tematów matematyki. Obecnie są rzadko nauczane na wydziałach matematyki. Jeszcze pojawiają się w programie na wydziałach fizyki, ponieważ są często używane w praktyce. Są uważane zwykle za nudny przedmiot -- serie wzorów do zapamiętania. Zaprezentuję kilka idei, które mogą uatrakcyjnić intelektualnie nauczanie funkcji typu hipergeometrycznego. Ich pozornie skomplikowane symetrie będą wyprowadzone z analizy pewnych naturalnych niskowymiarowych algebr Liego działających na proste zespolone równania różniczkowe cząstkowe.
Dla $2\pi$-okresowych ciągłych funkcji definiujemy specjalne moduły ciągłości $W_{2k}(f, h)$, a następnie dowodzimy nierówności Jacksona-Stechkina dla wielomianów trygonometrycznych z dokładnym wyznaczeniem stałej. Ponadto, dla $W_{2k}$ dowodzimy nierówności Bernsteina - Nikolsky'ego - Stechkina, która w połączeniu z nierównością $W_{2k} (f, h) \leq 4 \| f \|$ implikuje nierówność Jacksona-Stechkina z prawie optymalną stałą dla aproksymacji okresowymi funkcjami sklejanymi.
Zdefiniujemy pojęcie semistabilności w probabilistyce warunkowo wolnej i pokażemy, że miary semistabilne są podklasą miar nieskończenie podzielnych, a także że semistabilność dla wszystkich (bądź dwu niewspółmiernych) parametrów $r$ implikuje stabilność.
Celem referatu będzie inny dowód hipotezy Tomoyuki Shiraia o alpha-wyznaczniku i związki z wyznacznikami Fredholma. Podamy powiązania z uogólnionymi procesami Gaussa i twierdzeniem Thomy o charakteryzacji jego charakterów.
Odczyt poświęcony będzie pewnej szczególnej, nieprzemiennej *-algebrze Frecheta. Pierwszą część odczytu poświęcimy wyjaśnieniu jej nazwy oraz próbie uzasadnienia, dlaczego warto badać jej własności. Pokażemy też pewne proste konsekwencje tego, iż nasza algebra jest gęsta w C*-algebrze operatorów zwartych na ośrodkowej przestrzeni Hilberta. Zasadnicza część odczytu poświęcona będzie, po pierwsze: automatycznej ciągłości funkcjonałów dodatnich oraz różniczkowań naszej algebry, po drugie zaś: badaniu, jak bardzo średniowalna jest nasza algebra.
I will describe a new system of operators called "matricial R-circular operators" which play the role of matricial analogs of circular operators. They are obtained from canonical decompositions of "matricial circular systems" studied recently in the context of the Hilbert space realization of the asymptotic joint *-distributions of symmetric blocks of independent block-identically distributed Gaussian random matrices with respect to partial traces. As compared with those systems, matricial R-circular systems describe the asymptotic joint *-distributions of blocks rather than those of symmetric blocks.
W czasie referatu przeanalizowane zostaną dwa klasyczne dowody twierdzenia Wignera: za pomocą metod kombinatorycznych, oraz z wykorzystaniem transformaty Stieltjesa. Oba rozumowania przeniesione zostaną na przypadek, gdy dana duża macierz losowa X nie jest hermitowsko-symetryczna, ale H-samosprzężona, tzn. macierz HX jest hermitowsko-symetryczna. Macierz H będzie postaci diag(d,1,...,1), gdzie liczba d może być ujemna. Przedyskutowane zostaną również ograniczenia w rozszerzaniu obu metod na inne przypadki macierzy H.
Pokażemy, że w efekcie konstrukcji Woronowicza zastosowanej do funkcji na permutacjach można otrzymać tylko cztery typy grup kwantowych, z których tylko trzy są (a raczej bywają) nietrywialne, tzn. ich C*-algebry nie są przemienne.
Bogoliubov transformations (bosonic and fermionic) play an important role in many body quantum physics and quantum field theory. I believe it is useful to discuss them from the abstract point of view. I will review their basic algebraic properties, including the implementability in a Fock space and the choice of the phase factor.
W referacie przedstawione będą wyniki dotyczące własności typu Lukacsa dla zmiennych o rozkładzie Marchenko-Pastur. W pierwszej części wystąpienia znalezione zostaną łączne kumulanty zmiennych X i X^{-1}, dla odwracalnej zmiennej losowej X o rozkładzie Marchenko-Pastur. Następnie, korzystając z postaci znalezionych kumulant, udowodnione zostanie, że dla wolnych zmiennych X i Y o rozkładach Marchenko-Pastur zmienne X+Y i (X+Y)^{-1/2}X(X+Y)^{-1/2} są wolne.
Procesy q-Meixnera stanowią ważną podklasę w rodzinie kwadratowych harnessów - procesów z liniowymi warunkowymi wartościami oczekiwanymi i kwadratowymi wariancjami (przy warunkowaniu względem przeszło-przyszłej filtracji procesu). Ogólnie, są to niejednorodne procesy Markowa. Dla q=1 są to procesy Levy'ego o rozkładach z klasy Meixnera. Przykładem procesu 0-Meixnera jest wolny ruch Browna (klasyczna wersja). Pokażemy, że generator infinitezymalny dla procesów q-Meixnera ma postać tzw. całki osobliwej względem miary, która jest identyfikowana przez postać wielomianów ortogonalnych (względem tej miary). Wyniki zostały otrzymane wspólnie z W. Brycem (Univ. of Cincinnati).
Rozważamy $t$-deformację miar probabilistycznych na prostej rzeczywistej i badamy dla jakich $t$ istnieje reprezentacja Bargmanna tych miar.
W referacie przedstawię pewną nową metodologię do obliczenia wolnej warunkowej wartości oczekiwanej.
Referat jest kontynuacją poprzedniego (z czerwca 2013). Przedstawiona zostanie wersja nieprzemiennego CTG dla szczególnej rodziny operatorów, związanych z niezależnością wolną i boolowską.
The Robinson-Schensted algorithm was motivated by the representation of the symmetric group. However, when taking a certain random word the shape of the tableau is a Markov process whose kernel is related to the Schur functions. The algorithm is extended to the q-setting, where the Schur function is replaced by the q-Whittaker functions. Finally the new algorithm, like the old one, has a symmetry property, i.e. the output pairs are interchanged when the input permutation is inverted. This talk is based on arXiv:1212.6716 and arXiv:1306.2208.
We consider Robinson-Schensted-Knuth algorithm (RSK) applied to random input data and study the time-evolution of the insertion tableau. We show that in the appropriate scaling limit, this insertion tableau evolves like a deterministic, stationary flow of a non-compressible liquid.