Discrete harmonic analysis seminar - past schedule for the year 2012/2013:
Current page of the seminar is available here.
|
|
Discrete harmonic analysis seminar - past schedule for the year 2012/2013:Current page of the seminar is available here. |
Abstrakt: Podana zostanie konstrukcja rodziny operatorów na przestrzeni Hilberta, indeksowanej elementami zbioru X częściowo uporządkowanego, która ma następujące własności: 1. jeśli zbiór indeksów X jest liniowo uporządkowany (czyli jeśli każde dwa jego elementy są porównywalne), to rodzina ta jest niezależna w sposób wolny (= "free independent") 2. jeśli zbiór indeksów X jest całkowicie nieuporządkowany (czyli jeśli każde dwa jego elementy są nieporównywalne), to rodzina ta jest niezależna w sensie boolowskim (= "boolean independent") Być może konstrukcja ta doprowadzi do zdefiniowania nowej niezależności w nieprzemiennej probabilistyce. Udowodniona też będzie odpowiednia nieprzemienna wersja Centralnego Twierdzenia Granicznego.
Po krótkim wstępie dotyczącym definicji i podstawowych własności zwartych grup kwantowych planuje opisać kilka znanych obecnie przykładów takich obiektów. W drugiej części skupię się na konstrukcji podanej przez Woronowicza i zastosowaniu do niej funkcji na permutacjach.
I will construct a random matrix model for free Meixner laws, using the concept of matricial freeness.
A generalized stochastic process is a probability measure on a space of generalized functions on the Euclidean space, that is, a random generalized function. One says that a generalized stochastic processes has independent values if the value of this function at a given point is independent of the values of the function at other points. (The latter is, of course, only a heuristic definition as one can not rigorously speak of a value of a generalized function at a given point.) A generalized stochastic processes with independent values over the real line can also be treated as the derivative of a classical stochastic processes with independent value (in particular, a Levy process). Our aim is the study of the space of square integrable functionals of a generalized stochastic processes with independent values. We will show that there is a natural unitary operator between a certain symmetric Fock space and the L^2-space. This extends the well known results related to the Wiener-Ito-Segal isomorphism for the Gaussian measure and a similar orthogonal decomposition in multiple stochastic integrals for the Poisson measure. We will also study other natural realizations of the L^2-space in terms of Fock-type spaces, in particular, the Nualart-Schoutens decomposition. In our research, we will heavily use not only probability theory, but also functional analysis, in particular, the theory of unbounded self-adjoint operators.
Limit theorems in quantum (noncommutative) probability have been extensively studied from various aspects. In particular, their combinatorial features are interesting also from the viewpoint of asymptotic combinatorics. In this talk I will discuss the commutative central limit theorem and its higher power generalization. As an application we derive asymptotic spectral distributions of distance-k graphs of Cartesian product graphs. The limit distributions are described by means of Hermitian polynomials of a Gaussian random variable. This talk is based on a joint work with Hun Hee Lee and Yuji Hibino.
Wolna probabilistyka jest konstrukcją, w której odnaleźć można pojęcia znane z klasycznego rachunku prawdopodobieństwa przeniesione w nieprzemienny kontekst. Bada ona nie-komutatywne zmienne losowe o określonych rozkładach jako elementy stosownych algebr ze stanem a także posługuje się odpowiednikami klasycznej niezależności, w szczególności niezależnością wolną. W referacie zaprezentowane zostaną nowe charakteryzacje wolnych rozkładów Meixnera w języku warunkowej wartości oczekiwanej. Na tej podstawie wywnioskujemy twierdzenia opisujące pewne klasy wolnych procesów Lévy'ego.
W 1993 Kerov ogłosił swoje słynne Centralne twierdzenie graniczne dla miary Plancherela na zbiorze diagramów Younga, które mówiło o tym, że fluktuacje wokół kształtu granicznego są gaussowskie. Miara Jacka jest ciągłą deformacją miary Plancherela parametryzowaną dodatnią liczbą rzeczywistą $\alpha$; w przypadku $\alpha = 1$ pokrywa się ona z miarą Plancherela. W moim referacie przedstawię uogólnienie twierdzenia Kerova, mianowicie, pokażę, że losowe diagramy Younga względem miary Jacka również zbiegają do pewnego kształtu granicznego wokół którego fluktuacje są gaussowskie.
W 1993 Kerov ogłosił swoje słynne Centralne twierdzenie graniczne dla miary Plancherela na zbiorze diagramów Younga, które mówiło o tym, że fluktuacje wokół kształtu granicznego są gaussowskie. Miara Jacka jest ciągłą deformacją miary Plancherela parametryzowaną dodatnią liczbą rzeczywistą $\alpha$; w przypadku $\alpha = 1$ pokrywa się ona z miarą Plancherela. W moim referacie przedstawię uogólnienie twierdzenia Kerova, mianowicie, pokażę, że losowe diagramy Younga względem miary Jacka również zbiegają do pewnego kształtu granicznego wokół którego fluktuacje są gaussowskie.
Po krótkim wstępie dotyczącym definicji i podstawowych własności zwartych grup kwantowych planuje opisać kilka znanych obecnie przykładów takich obiektów. W drugiej części skupię się na konstrukcji podanej przez Woronowicza i zastosowaniu do niej funkcji na permutacjach.
Pokażę, że miary klasyczne Meixnera, w tym 1/cosh, są nieskończenie podzielne w wolnej probabilistyce. Ponadto pokaże, że rozkłady t-Studenta też są nieskończenie podzielne w wolnym splocie - są to wyniki Arizmendi, Belinschiego, Hasebe i moje. Metody są czysto analityczne i używają odwzorowań konforemnych.
Pokażę, że miary klasyczne Meixnera, w tym 1/cosh, są nieskończenie podzielne w wolnej probabilistyce. Ponadto pokaże, że rozkłady t-Studenta też są nieskończenie podzielne w wolnym splocie - są to wyniki Arizmendi, Belinschiego, Hasebe i moje. Metody są czysto analityczne i używają odwzorowań konforemnych.
Pokażę, że miary klasyczne Meixnera, w tym 1/cosh, są nieskończenie podzielne w wolnej probabilistyce. Ponadto pokaże, że rozkłady t-Studenta też są nieskończenie podzielne w wolnym splocie - są to wyniki Arizmendi, Belinschiego, Hasebe i moje. Metody są czysto analityczne i używają odwzorowań konforemnych.
Zostanie pokazana równoważność między specjalnymi modułami ciągłości i K-funkcjonałem oraz nowy wariant twierdzenia typu Jacksona.
Niech H będzie hermitowsko-symetryczną, odwracalną macierzą z jedną ujemną wartością własną i niech A będzie macierzą H-symetryczną, tj HA=A^*H. Wiadomo, że spektrum A jest rzeczywiste, za wyjątkiem jednej wartości własnej niedodatniego typu, która może być rzeczywista lub zespolona (w drugim przypadku również jej sprzężenie jest wartością własną). Głównym tematem będzie badanie zachowania tej specjalnej wartości własnej pod wpływem zmian macierzy A. Rozważymy trzy przypadki - A jest jednowymiarową perturbacją danej macierzy (lub operatora) - A jest skończonym obcięciem nieskończonej macierzy Jacobiego - A jest dużą macierzą losową. Okazuje się, że wszystkie te trzy problemy mogą być zbadane przy pomocy metody funkcji Weyla i teorii uogólnionych funkcji Nevanlinny. Rezultaty zostały otrzymane wspólnie z H.S.V. de Snoo (RUG Groningen), H. Winklerem (TU Ilmenau), M. Derevyaginem (TU Berlin) i P. Pagaczem (UJ).
Tematy referatu będą następujące: 1. Nowe procesy Gaussowskie związane z pracami A.Buchholca, W.Bryca, Dembo i Yianga oraz Bożejko-Yoshidy. 2. Funkcje dodatnio określone na grupie permutacji związane z liczbą punktów stałych izolowanych i podobne funkcje na zbiorze 2-partycji. 3. Nowe miary nieskończenie podzielne w wolnej probabilistyce - wyniki Arizmendi, Hasebe i moje jak np: 1/cosh, miary ultrasferyczne (Gegenbauera) i rozkłady Studenta. Wyniki te związane są z moimi pracami z Wojciechem Bożejko oraz Takahiro Hasebe.
I would like to explain how characters of symmetric groups can be generalized using theory of symmetric functions. Doing that, I define a one-parameter deformation of characters of symmetric groups called \emph{Jack characters}. Later on, I am going to present a conjectural formula expressing Jack characters using combinatorics of some nice, geometric objects, namely \emph{bipartite maps}. Finaly I am going to present consequences of this conjectural formula as well as explain some heuristic we believe our conjecture is true.
I would like to explain how characters of symmetric groups can be generalized using theory of symmetric functions. Doing that, I define a one-parameter deformation of characters of symmetric groups called \emph{Jack characters}. Later on, I am going to present a conjectural formula expressing Jack characters using combinatorics of some nice, geometric objects, namely \emph{bipartite maps}. Finaly I am going to present consequences of this conjectural formula as well as explain some heuristic we believe our conjecture is true.
I will explain how recent developments on random polymer models have given rise to a new family of `ensembles' which generalise the classical random matrix eigenvalue distributions (GUE, GOE, LUE, etc.). These new ensembles have a temperature parameter inherited from the associated polymer model and are closely related to GL(n,R)-Whittaker functions. At zero temperature they reduce to the classical random matrix eigenvalue distributions.
We obtain several classes of non-linear partial differential equations for various random matrix ensembles undergoing Brownian type of random walk. These equations for spectral flow of eigenvalues as a function of dynamical parameter ("time") are exact for any finite size N of the random matrix ensemble and resemble viscid Burgers-like equations known in the theory of turbulence. In the limit of infinite size of the matrix, these equations reduce to complex inviscid Burgers equations, proposed originally by Voiculescu in the context of free processes. We identify spectral shock waves for these equations in the limit of the infinite size of the matrix, and then we solve exact, finite N nonlinear equations in the vicinity of the shocks, obtaining in this way universal Airy, Bessel and cuspoids oscillations.
We shall present the Mellin transform as a versatile tool to solve a wide range of problems. 1. As the first application we shall expose some notions about the Stieltjes moment problem, with the special emphasis on existence of non-unique solutions. In the quest for explicit examples of such solutions one encounters a large class of so called polynomial killers, i.e. functions whose all Stieltjes moments are vanishing. We propose a method of generating many types of polynomial killers. We point out their applications in the quasiclassical limit of Quantum Mechanics. (K. A. Penson) 2. The second application concerns the method of solving fractional Fokker-Planck (FFP) equations and the generalized heat equations. The solutions involve exact and explicit expressions for Levy stable probability distributions (for FFP) and signed Levy functions for heat equations. They enter exact forms of integral kernels pertaining to these equations. We examine analytically and graphically the spatial and temporary evolution of particular solutions from simple initial conditions. (K. Górska)
Ostatnio R. Lenczewski pokazał, że momenty graniczne macierzy W(n) = B(n)B*(n), gdzie B(n) jest iloczynem p niezależnych prostokątnych macierzy losowych, są jednorodnymi wielomianami P_k(d_0,...,d_p), gdzie d_i są tzw. wymiarami asymptotycznymi tych macierzy. Korzystając z metod kombinatorycznych, podczas referatu przedstawiona zostanie jawna postać wielomianów P_k i wskazany ich związek z uogólnionymi wielomianami Fussa-Narayany. Dodatkowo, korzystając z tego wyniku, wyliczone zostaną momenty wolengo splotu multiplikatywnego rozkładu Marchenko-Pastura. Wyniki te uzyskane są wspólnie z R. Lenczewskim.
We study property RD from the point of view of decay of matrix coefficient of unitary representations. A process of linearisation enables us to apply the Banach-Steinhaus theorem, and we give a new simple definiton of property RD in terms of matrix coefficient. We deduce that not all the matrix coefficients of the quasi regular representations of Lie goups satisfy "the weak inequality", inequality that appears in the context of harmonic analysis.
W referacie zostaną pokazane pewne ogólne tożsamości zachodzące w dwustanowej probabilistyce. Korzystając z tych tożsamości udowodnię twierdzenia charakteryzujące pewną klasę dwustanowych zmiennych losowych.
In 2005, Nualart and Peccati proved a very surprising central limit theorem for multiple stochastic integrals with respect to a classical Brownian motion B: if X_k is a (variance-normalized) sequence of qth Wiener-Itô integrals (for fixed q >= 2), then X_k --> N(0,1) in distribution if and only if E[X_k^4] --> 3. That is to say: in a fixed order of Wiener chaos, convergence to a normal distribution is equivalent to the a priori dramatically weaker convergence of the fourth moment alone. In this talk, I will discuss extensions of this theorem to the case where the classical Brownian motion B is replaced by a q-Brownian motion. This is joint work with Aurélien Deya and Salim Noreddine.