Discrete harmonic analysis seminar - past schedule for the year 2011/2012:
Current page of the seminar is available here.
|
|
Discrete harmonic analysis seminar - past schedule for the year 2011/2012:Current page of the seminar is available here. |
I will speak about asymptotic distributions of independent Gaussian random matrices with block-identically distributed entries in the context of matricial freeness.
W referacie zostaną omówione wyniki w teorii aproksymacji z ostatnich lat, związane z głównym twierdzeniem klasycznej teorii aproksymacji: nierównością Jacksona-Stechkin'a. Zostaną przedstawione całkiem nowe rezultaty, w szczególności nierówności Jacksona-Stechkin'a w terminach specjalnych modułów ciągłości, dokładne dla ciągłej skali argumentu modułu ciągłości, co ma zasadnicze znaczenie w tej tematyce. Zostanie przeprowadzone porównanie K-funkcjonałów i specjalnych modułów ciągłości.
Zostaną pokazane pewne ogólne tożsamości zachodzące w dwustanowej probabilistyce skonstruowanej przez M. Bożejke, M. Leinerta oraz R. Speichera w 1996r. Na jej podstawie spróbujemy udowodnić twierdzenie charakteryzujące pewną klasę dwustanowych zmiennych losowych.
The talk is roughly divided into two parts. In the first we establish a large deviations principle for the block sizes of a uniformly random non-crossing partition. As an application we obtain a variational formula for the maximum of the support of a compactly supported probability measure in terms of its free cumulants, provided these are all non-negative. This is useful in free probability theory, where sometimes the R-transform is known but cannot be inverted explicitly to yield the density. In the second part we study the distribution of certain quadratic functionals of the free Brownian bridge. In each case we obtain a formula for the R-transform. While unable to invert this to obtain the density we can apply the formula for the right edge of the support from the first part. Representations of the free Brownian motion by series of free semicircular random variables play a central role.
W nieskończonym tableau Younga usuwamy narożną klatkę; w ten sposób powstaje lawina zsuwających się klatek zwana "jeu de taquin". Asymptotyczne zachowanie tej lawiny okazuje się być blisko związane z odwzorowaniem Robinsona-Schensteda-Knutha (RSK) oraz z teorią reprezentacji nieskończonej grupy symetrycznej.
I will construct some kind of product operation (= twisted product) for non-commutative probability spaces. The construction is inspired from Pusz's twisted canonical anti-commutation relations.
Jest to kontynuacja/rozszerzenie tego o czym mówiłem rok temu. W '98 Biane udowodnił, że miara przejścia typowego nieprzywiedlnego składnika produktu zewnętrznego dwóch reprezentacji grup S_n jest wolnym splotem miar przejścia tych reprezentacji. W dowodzie Biane'a nie pojawiły się wolne zmienne losowe - okazuje się jednak, że można wytłumaczyć obecność wolnego splotu w tym zagadnieniu dowodząc, że elementy Jucysa-Murphy'ego w pewnej przestrzeni probabilistycznej są asymptotycznie wolne.
Kwadratowy harness to taki (klasyczny) proces stochastyczny X=(X_t), dla którego warunkowa wartość oczekiwana E(X_t| F_{s,u}) i warunkowa wariancja Var(X_t|F_{s,u}) są odpowiednio funkcjami: liniową i kwadratową, zmiennych X_s i X_u, dla dowolnych s < t < u, przy czym (F_{s,u})_{s < u} oznacza tzw. przeszło-przyszłą filtracje procesu X. Typowo X to niejednorodny proces Markowa całkowalny w dowolnej potędze dodatniej. Typowo rozkłady tych klasycznych procesów pojawiają się w niekomutatywnej probabilistyce. Opowiem o pewnej metodzie algebraicznego opisu kwadratowych harnessów, która prowadzi do równania komutacyjnego dla operatorów związanych z momentami warunkowymi wstecz. Równanie to udało sie rozwiązać dla "wolnych" kwadratowych harnessów. A to z kolei pozwoliło na podanie jawnych wzorów na generator (określony przynajmniej na wielomianach) dla tej podrodziny kwadratowych harnessów. Są to wyniki uzyskane wspólnie z W. Brycem (Univ. of Cincinnati, USA).
Metoda "reduced basis" stosowana jest do numerycznego rozwiązywania "on-line" układów PDE zależnych od parametru. Jednym z narzędzi jest pewien algorytm zachłanny przybliżania zbiorów w przestrzeniach Hilberta (lub Banacha). W odczycie przedstawię wyniki (wspólne z P.Binev, A.Cohen, W.Dahmen, R.DeVore, G.Petrova) dotyczące efektywności tego algorytmu.
Jest to kontynuacja/rozszerzenie tego o czym mówiłem rok temu. W '98 Biane udowodnił, że miara przejścia typowego nieprzywiedlnego składnika produktu zewnętrznego dwóch reprezentacji grup S_n jest wolnym splotem miar przejścia tych reprezentacji. W dowodzie Biane'a nie pojawiły się wolne zmienne losowe - okazuje się jednak, że można wytłumaczyć obecność wolnego splotu w tym zagadnieniu dowodząc, że elementy Jucysa-Murphy'ego w pewnej przestrzeni probabilistycznej są asymptotycznie wolne.
Wykład ten będzie kontynuacją referatu wygłoszonego 10 listopada ubiegłego roku. Dotyczyć będzie problemu charakteryzacji ekstremalnych odwzorowań dodatnich na algebrach macierzowych. Skupimy się na gęstej podklasie tych odwzorowań – odwzorowaniach eksponowanych. Podamy dowód, że ekstremalne odwzorowania rozkładalne są eksponowane. Następnie przestudiujemy własności obrazów dla odwzorowań ekstremalnych. W szczególności udowodnimy, że każde odwzorowanie eksponowane albo nie zwiększa rzędu na projektorach albo przekształca każdy projektor na operator rzędu przynajmniej 2.
Przedstawiona zostanie konstrukcja błądzenia losowego względem splotu uogólnionego i słabego splotu uogólnionego, w szczególności na przykładzie splotu Kendalla. Udowodnimy, że skonstruowane procesy stochastyczne są procesami Markowa w tradycyjnym sensie. Jak się okaże w przypadku splotu Kendalla otrzymujemy tutaj nowe rodziny rozkładów o ciężkich ogonach. Udowodnimy, że skonstruowane procesy stochastyczne nie są procesami Lévy'ego w klasycznym sensie. Podane zostaną ciekawe własności miary słabo stabilnej generującej słaby splot uogólniony Kendalla. Ponadto przyjrzymy się miarom probabilistycznym z własnością braku pamięci dla algebr splotowych (P,#) przy ustalonym splocie uogólnionym #.
Celem wystąpienia będzie kontynuacja obliczeń zmierzających do nowej charakteryzacji wolnych Mixnerów. Zostaną przypomniane rekurencje pokazane na seminarium z przed dwóch tygodni oraz dalsze wnioski z nich wypływające.
System Gabora powstaje poprzez zastosowanie translacji (czyli przesunięć) oraz modulacji (czyli mnożenia przez charaktery) do funkcji z L^2 na prostej. Hipoteza HRT (Heil, Ramanathan, Topiwala) głosi, że dla dowolnej funkcji z L^2 na prostej generowany przez nią system Gabora jest liniowo niezależny. Chciałbym przedstawić obecny stan wiedzy na temat tej hipotezy.
Zostanie pokazana pewna ogólna tożsamość zachodząca w wolnej probabilistyce. Na jej podstawie spróbujemy udowodnić twierdzenie charakteryzujące pewną klasę wolnych Mixnerów.
The matricial R-transform is an operator-valued transform which linearizes the strongly matricially free convolution. Since this convolution generalizes many interesting convolutions (free, c-free, monotone, c-monotone, boolean), the matricial R-transform plays the role of a unified noncommutative logarithm of the Fourier transform. One of the consequences of this fact is a general formula for the scalar-valued Cauchy transform of the matricially free convolution. As a corollary, one obtains interesting formulas for Cauchy transform of the above-mentioned convolutions as special cases, form which one can easily derive formulas for the associated transforms.
W referacie przypomnę podstawowe przykłady UPG i podam nową definicję liczb Catalana. Przedstawię też pewne problemy i pytania dotyczące silnie multiplikatywnych UPG. Związki z miarami nieskończenie podzielnymi w wolnym splocie też się pojawią.
Problem klasyfikacji odwzorowań dodatnich na C*-algebrach sformułowany został w latach 60-tych ubiegłego wieku w pracach Stormera. W ostatnich latach tematyka ta stała się bardzo aktualna z powodu jej zastosowań w fizyce matematycznej. W trakcie referatu dokonany zostanie przegląd kilku problemów dotyczących klasyfikacji odwzorowań dodatnich na skończenie wymiarowych C*-algebrach. Po wstępie przedstawiającym podstawowe definicje, pojęcia i stan dotychczasowej wiedzy, zaprezentujemy następujące zagadnienia: 1. Problem dualności między stożkami w opisie odwzorowań dodatnich. Scharakteryzujemy stożki dualne do stożków odwzorowań dodatnich i odwzorowań rozkładalnych. 2. Podamy opis klasy odwzorowań $k$-rozkładalnych na dowolnych (niekoniecznie skończenie wymiarowych) algebrach. 3. Opiszemy strukturę odwzorowań dodatnich w języku tzw. macierzy Choi w przypadku pewnych konkretnych algebr macierzowych. 4. Scharakteryzujemy własności rzędów obrazów dodatnich odwzorowań ekstremalnych. W szczególności podamy wyniki dotyczące nieregularności odwzorowań ekstremalnych i podamy rozwiązania pewnych problemów dotyczących odwzorowań ekstremalnych postawionych w literaturze matematycznej w ciągu ostatnich 20 lat (m.in. problem Robertsona i problem Osaki).
Istnienie właściwego, ciągłego, warunkowo ujemnie określonego jądra na grupie jest jednym z równoważnych warunków na posiadanie przez grupy własności Haagerupa (zwanej też ś-T-redniowalnością Gromowa). Jednym z naturalnych kandydatów na tę funkcję dla grupy dyskretnej jest funkcja długości względem ustalonego zbioru generatorów (a konkretnie, metryka związana z tą długością) - wystarczy "jedynie" sprawdzić, że metryka ta faktycznie jest warunkowo ujemnie określona, albo równoważnie - na mocy twierdzenie Schoneberga - że grupę tę, traktowaną jako przestrzeń metryczną, można zanurzyć kwadratowo-izometrycznie w przestrzeń Hilberta (i.e. $d(x,y)=\|\alpha(x)-\alpha(y)\|_H$ dla pewnej funkcji zanurzenia $\alpha: G\to H$) - w ten sposób Marek Bożejko pokazał w [1] własność Haagerupa dla nieskończonych grup Coxetera, a dla mnie stało się ta praca punktem startowym rozważań. Chciałbym przyjrzeć się klasie obiektów posiadających właściwe, ciągłe, _silnie_ warunkowo ujemnie określone jądro (albo dla przestrzeni metrycznych - metrykę będącą silnie warunkowo ujemnie określoną) i pokazać geometryczno-algebroliniową interpretację tego warunku, a także wywnioskować z niej kilka własności (bądź ich braku) permanencji tej klasy obiektów. W szczególności, dzięki temu, że klasa ta jest stabilna na branie sumy jednopunktowej obiektów, dla grafów oznacza to permanencję na wszystkie motywowane nieprzemienną probabilistyką konstrukcje: produkt boole'owski (jednopunktowy), produkt monotoniczny (grzebieniasty) oraz wolny, podobnie jak w [2] i [3]. Na koniec być może przedyskutuję kilka innych przykładów obiektów z tą własnością i związkami (a zwłaszcza ich brakiem) z pewną naturalną klasą własności, od których można oczekiwać jakichkolwiek związków. [1] M. Bożejko, L.T. Januszkiewicz, R.J. Spazier "Infinite Coxeter groups do not have Kazhdan's property" [2] L. Accardi, R. Lenczewski, R. Sałapata "Decompositions of the free product of graphs" [3] N. Obata "Positive Q-matrices of graphs"
The main aim of this talk will be a continuation of constructions of some non-commutative processes (obtained together with W. Bryc). We define a pair of non-commutative processes on a perturbed Fock space. Both processes have the same univariate distributions, and satisfy a weak form of the polynomial martingale property. The processe give two non-equivalent Fock-space realizations of the same classical Markov process: the two-parameter bi-Poisson processes introduced in [Bryc et al., 2007], and constructed in [Bryc and Wesołowski, 2007] for q = 0, in [Bryc and Wesołowski, 2007] for q = 1, and in [Bryc et al., 2008] for other values of q \in [-1, 1]. When one of the parameters vanishes, both noncommutative processes have as classical version the q-Poisson process.
By Skitovich-Darmois theorem a Gaussian distribution on the real line is characterized by independence of two linear forms of n independent random variables. This result is a generalization of the classical Kac-Bernstein theorem where a Gaussian distribution on the real line is characterized by independence of sum and difference of two independent random variables. We will talk about some variants of these classic results in the case when independent random variables take values in a locally compact abelian group.
We define a pair of non-commutative processes on a perturbed Fock space. Both processes have the same univariate distributions, and satisfy a weak form of the polynomial martingale property. The processe give two non-equivalent Fock-space realizations of the same classical Markov process: the two-parameter bi-Poisson processes introduced in [Bryc et al., 2007], and constructed in [Bryc and Wesołowski, 2007] for q = 0, in [Bryc and Wesołowski, 2007] for q = 1, and in [Bryc et al., 2008] for other values of q \in [-1, 1]. When one of the parameters vanishes, both noncommutative processes have as classical version the q-Poisson process.
A k-divisible element is a (non-commutative) random variable whose n-th moment vanish whenever n is not multiple of k. In this note we study combinatorial and analytic aspects of these k-divisible elements. We start by deriving a formula for the cumulants of x^k which involves combinatorial results on the lattice of k-divisible partitions. Later, we propose a definition for the free multiplicative convolution between a measure concentrated in the positive real axis and a probability measure with k-symmetry associated to a k-divisible element. When having moments we show that an S-transform can be defined for this elements and can be used to calculate the multiplication of random variables. We extend the denition of the S-transform to any k-symmetric measure, which to calculate free multiplicative convolution, between and a measure in with support included in R+. We also study free additive powers of k-symmetric distributions and show, for all t > 1, that t is a well defined probability measure. Furthermore we derive central limit theorems and poisson type ones. We briefly study infinitely divisible measures and stable distributions. Finally we prove that if a and s are free and s is k-divisible then shs and a are free where h is any monomial on a and s of degree k-2 on s. This can be generalized for balanced k-tuple (a1; a2; : : : an). Formulas for cumulants of a =a1a2... an and relations with R-cyclic matrices are also derived.