ALGEBRA HOMOLOGICZNA, WYKŁAD 13

Zakładamy, że X jest normalną przestrzenią topologiczną.

Twierdzenie 1 Każdy snop miękki na X jest Γ-acykliczny. Dowód Niech F będzie snopem miękkim Krok 1 Dla każdego krótkiego ciągu dokładnego

0 −−⟶ F −−⟶^{ψ} H −−⟶^{ϕ} G −−⟶ 0

ciąg cięć globalnych

0 −−⟶ F(X) −−⟶^{ψ|_{X}} H(X) −−⟶^{ϕ|_{X}} G(X) −−⟶ 0

jest też dokładny. Dowód kroku 1 Musimy pokazać, że ϕ|_{X} : H(X) → G(X) jest “na”. Z zadania 1 listy 10, dla każdego x ∈ X, ciąg źdźbeł

0 −−⟶ F_{x} −−⟶^{ψ|_{x}} H_{x} −−⟶^{ϕ|_{x}} G_{x} −−⟶ 0

jest dokładny. Stąd istnieje otwarte otoczenie U ∋ x i s̄ ∈ H(U) takie, że ϕ|_{U}(s̄)_{x} = s_{x}. Stąd istnieje otoczenie U′∋ x, takie że

s|_{U′} = ϕ|_{U}(s̄)_{U′} = ϕ|_{U′}(s̄|_{U′}).

Stąd możemy pokryć X zbiorami otwartymi U_{i}, taki że dla każdego i, s|_{U_{i}} ∈ im(ϕ|_{U_{i}}). Ponieważ X jest przestrzenią normalną, możemy zastąpić pokrycie otwarte (U_{i}) (oddzielając każdy x ∈ U_{i} od X \ U_{i} zbiorami otwartymi) pokryciem domkniętym (C_{i}) (tzn. X jest sumą wnętrz C_{i}) takim, że dla każdego i, s|_{C_{i}} = ϕ|_{C_{i}} (s̄_{i}) dla pewnego s̄_{i} ∈ H(C_{i}). Być może (s̄_{i}) nie jest zgodny. Niech s_{jk} := s_{j}|_{C_{jk}} . Zaczynamy poprawiać układ (s̄_{i}). Ponieważ s̄_{12} − s̄_{21} ↦ 0, istnieje c ∈ F(C_{12}) taki, że ψ|_{C_{12}} (c) = s̄_{12} − s̄_{21}. Poniewać F jest miękki, istnieje przedłużenie c do c′ ∈ F(U_{2}). Poprawiamy s̄_{2} do s̄_{2} + c′. Poprawiamy tak dalej i dalej, aż do dostania zgodnego systemu. Krok 2 H^{1}(X, F) = 0.

Dowód kroku 2 Weźmy monomorfizm F ↪ I, gdzie I jest injektywny i niech G := coker(F ↪ I). Wtedy mamy krótki ciągh dokładny snopów 0 → F → I → G, który daje nam długi ciąg dokładny grup abelowych

0 → F(X) → I(X) → G(X) → H^{1}(X, F) → H^{1}(X, I) → …

Z Kroku 1, I(X) → G(X) jest “na”, stąd G(X) → H^{1}(X, F) jest odwzorowaniem zerowym. Dlatego H^{1}(X, F) → H^{1}(X, I) jest “1-1”. Ale I jest injektywny, dlatego H^{1}(X, I) = 0 i H^{1}(X, F) = 0. Krok 3 (ćwiczenia – lista 10. zad. 5) Każdy snop injektywny jest miękki. Krok 4 (ćwiczenia – lista 10. zad. 4) Jeśli mamy ciąg dokładny 0 → F → H → G → 0, gdzie H jest też miękki, to G jest miękki. Krok 5 F jest Γ-acykliczny. Weźmy ciąg dokładny jak w dowodzie kroku 2.

0 → F → I → G → 0.

Z Kroku 3 i Kroku 4, snop G jest miękki. Z długiego ciągu dokładnego funktorów pochodnych dostajemy acykliczny kompleks

0 → Γ(F) → Γ(I) → Γ(G) → H^{1}(X, F) → H^{1}(X, I) → H^{1}(X, G) → H^{2}(X, F) → …

Ponieważ, H^{>0} (X, I) = 0 dostajemy, że H^{i}(X, G) = H^{i+1} (X, F) dla i 1. Z Kroku 1, H^{1}(X, G) = H^{2}(X, F) = 0 i dalej indukcyjnie H^{>0} (X, F) = 0.

Lemat Jeśli R jest miękkim snopem pierścieni na X, to każdy snop R-modułów jest miękki. Dowód Niech F będzie snopem R-modułów, D ⊆ X domkniętym podzbiorem i s ∈ F. Wtedy istnieje otwarty D ⊆ U i s′∈ F(U) taki, że s′|F = s. Weźmy teraz C ⊆ U domknięty, taki że dla U′:= Int(C) mamy D ⊆ U′. C istnieje, bo X jest normalna (oddzielamy D od X \ U). Niech

f_{0} ∈ F(D ∪ (X \ U′)), f_{0}|_{D} := 1_{F(D)} , f_{0}|_{X\U′} := 0_{F(X\U′)}

(f_{0} istnieje, bo X jest normalna). R jest miękki, stąd f_{0} jest obcięciem pewnego f ∈ R(X). Definiujemy s̄ ∈ F(X)

s̄|_{X\C} = 0, s̄|_{U} = f|_{U}s′.

(X \C)∩U ⊆ X \U′, stąd f|_{(X\C)∩U} = 0 i s|_{(X\C)∩U} = 0. Stąd s̄ jest dobrze określone (przez zgodną rodzinę). Mamy również s̄|F = f|_{F}s′|_{F} = 1s = s.

Twierdzenie 2 Jeśli X jest gładka, to każdy snop C_{X}^{∞} -modułów jest miękki. Jeśli X jest normalną przestrzenią topologiczną, to każdy snop C_{X}-modułów jest miękki. Dowód Dla X gładkiej, snop C_{X}^{∞} jest miękki z gładkiego rozkładu jedynki. Dla X normalnej, snop C_{X} jest miękki z twierdzenia Tietze’a. Wystarczy teraz zastosować twierdzenie 2.

Wniosek Jeśli X jest gładka, to

H^{n}(X, ℝ_{X}) ≅ H_{DR}^{n}(X).

Uwaga Snop F nazywamy wiotkim, gdy dla każdego otwartego U ⊆ X, F(X) → F(U) jest “na”. Każdy snop wiotki jest miękki stąd również Γ-acykliczny. Snopy C_{X}^{∞} , C_{X} nie są wiotkie, ponieważ dla X = ℝ i U = ℝ \ {0}, funkcja 1/x ∈ C_{ℝ}^{∞} (ℝ \ {0}) nie przedłuża się nawet do funkcji ciągłej na ℝ.

Definicja Niech X będzie przestrzenią topologiczną i A grupą abelową. Dla U ⊆ X otwartego, k ∈ ℕ i Δ_{k} sympleksu standardowego w ℝ^{k+1} definiujemy

U^{S^{k}} := Hom_{Top} (Δ_{k}, U), S_{X}^{k}(U, A) := Hom_{Set} (U^{S^{k}} , A).

Dla V ⊆ U inkluzja indukuje zanurzenie V^{S^{k}} → U^{S^{k}}, które zadaje nam funkcję obcięcia S_{X}^{k}(U, A) → S_{X}^{k}(V, A). S_{X}^{k}(U, A) – grupa k-tych kołańcuchów singularnych na U o wartościach w A. Ponieważ funkcje obcięcia pochodzą od obcięć funkcji dostajemy snop S_{X}^{k}(·, A) Zanurzenie i-tej ściany Δ_{k} → Δ_{k+1} daje różniczkę

Δ_{U}^{k} : S_{X}^{k}(U, A) → S_{X}^{k+1} (U, A),

która zadaje kompleks grup abelowych.

0 → S_{X}^{0}(U, A) → S_{X}^{1}(U, A) → ⋯→ S_{X}^{k}(U, A) → ….

Kohomologie (n-te) tego kompleksu to H^{n}(U, A) – kohomologie singularne U o współczynnikach w A. Różniczki są przemienne z funcjami obcięcia S_{X}^{k}(U, A) → S_{X}^{k}(V, A), stąd dostajemy kompleks snopów

0 → S_{X}^{0}(·, A) → S_{X}^{1}(·, A) → ⋯→ S_{X}^{k}(·, A) → ….

Załóżmy teraz, że X jest lokalnie ściągalna, tzn. ma bazę złożoną ze zbiorów otwartych ściągalnych (np. X jest rozmaitością gładką albo ogólniej rozmaitością topologiczną). Wtedy dla każdego x ∈ X i każdego otwartego x ∈ U istnieje otwarty x ∈ V ⊆ U taki, że H^{0}(V, A) = A, H^{>0} (V, A) = 0. Stąd dla V jak wyżej następujący ciąg jest dokładny

0 → A → S_{X}^{0}(V, A) → S_{X}^{1}(V, A) → ⋯→ S_{X}^{k}(V, A) → ….

Zad. 1 listy 10. jest prawdziwe również dla długich ciągów dokładnych. Stąd następujący ciąg snopów jest dokładny

0 → A_{X} → S_{X}^{0}(·, A) → S_{X}^{1}(·, A) → ⋯→ S_{X}^{k}(·, A) → ….

Twierdzenie Powyższy ciąg dokładny jest Γ-acykliczną rezolwentą A_{X}. Dowód Z Uwagi wystarczy pokazać, że każdy snop S_{X}^{k}(·, A) jest wiotki. Weźmy U ⊆ X otwarty i f : U^{S^{k}} → A. Wtedy f możemy trywialnie rozszerzyć do f̄: X^{S^{k}} → A (np. kładąc na X \ U zero).

Wniosek Dla lokalnie ściągalnej przestrzeni X, grupy abelowej A i n ∈ ℕ mamy

H^{n}(X, A) ≅ H^{n}(X, A_{X}).

Definicja Niech U = (U_{i})_{i∈I} będzie pokryciem X i F snopem na X. Definiujemy

C^{k}(U, F) := ∏_{(i_{0},...,i_{k})∈I^{k}} F(U_{i_{0}...i_{k}} ).

Definiujemy teraz różniczkę

δ^{k} : C^{k}(U, F) → C^{k+1} (U, F)

δ^{k}(c)(i_{0}, …, i_{k+1} ) := ∑_{j=0}^{k+1} (−1)^{i}c(i_{0}, …, i_{j−1} , i_{j+1} , …, i_{k})|_{U_{i_{0}... i_{k+1}}} .

Można pokazać, że dostajemy kompleks

0 → C^{0}(U, F) → C^{1}(U, F) → …,

którego k-te kohomologie oznaczamy przez H^{k}(U, F). Jeśli teraz mamy pokrycie U′= (u′_{j})_{j∈J} wpisane w pokrycie U (tzn. istnieje f : J → I takie, że dla każdego j ∈ J, U′_{j} ⊆ U_{f(j)} ), to dostajemy odwzorowania C^{k}(U, F) → C^{k}(U′, F) zależne od wyboru wpisania f i przemienne z różniczkami. Stąd dostajemy homomorfizm grup H^{k}(U, F) → H^{k}(U′, F), który już nie zależy od wyboru f. Pokrycia wraz z odwróconą relacją wpisania dają skierowany system prosty i Ĥ^{k}(X, F) (kohomologie Čecha) jest granicą prostą grup H^{k}(U, F) względem tego systemu.

Twierdzenie (bez dowodu). Jeśli X jest parazwarta i F jest snopem grup abelowych, to

H^{k}(X, F) ≅ Ĥ^{k}(X, F).

Definicje

1. Wiązkę nazywamy liniową gdy włókna są jednowymiarowe

2. Snop R-modułów nazywamy odwracalnym, gdy jest lokalnie wolny rangi 1.

3. Dla rozmaitości algebraicznej X, Pic(X) to klasy izomorfizmów odwracalnych snopów O_{X}-modułów z działaniem mnożenia tensorowego.

Fakt

1. Snopy odwracalne O_{X}-modułów odpowiadają algebraicznym wiązkom liniowym. Podobnie dla wiązek topologicznych, gładkich i analitycznych.

2. Pic(X) jest grupą abelową (zwaną grupą Picarda).

Dowód

1. Oczywiste.

2. Najlepiej widać to na poziomie wiązek. Wiązki liniowe zadane są przez odwzorowania przejścia g_{ij} : U_{ij} → K^{∗} spełniające warunek kocyklu. Iloczyn tensorowy odpowiada mnożeniu w K^{∗}, stąd wiązka odwrotna odpowiada funkcjom g′_{ij} := g_{ij}^{−1} .

Algebraicznej wiązce liniowej odpowiada element z H^{1}(X, O_{X}^{∗}) w następujęcy sposób. Wiązka zadaje układ funkcji przejścia g_{ij} : U_{ij} → K^{∗}, który zadaje element C^{1}(U, O_{X}^{∗}) dla U = (U_{i}). Warunek kocyklu mówi dokładnie, że ten element jest w jądrze różniczki, czyli dostajemy element z H^{1}(U, O_{X}^{∗}), a co za tym idzie z Ĥ^{1}(X, O_{X}^{∗}), które jest izomorficzne z H^{1}(X, O_{X}^{∗})

Twierdzenie (bez dowodu) Powyższe odwzorowanie zadaje izomorfizm grup

Pic(X) ≅ H^{1}(X, O_{X}^{∗}).