ALGEBRA HOMOLOGICZNA, WYKŁAD 12

Kohomologie snopów

Zajmiemy się najpierw odpowiedniością pomiędzy wiązkami i pewnymi snopami. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Definicja (rzeczywistą, topologiczną) Wiązką (wektorową) nad X nazywamy funkcję ciągła π : E → X taką, że istnieje otwarte pokrycie X = ⋃ _{i∈I} U_{i}, istnieje n i istnieją homeomorfizmy ϕ_{i} : π^{−1} (U_{i}) → U_{i} × ℝ^{n} takie, że

1. Następujący diagram jest przemienny

π^{−1} (U_{i}) −−⟶^{ϕ_{i}} U_{i} × ℝ^{n}
π ↓  ↓^{π_{U}}
U −−⟶^{id_{U}}  U

(mówimy, że wiązka trywializuje się nad pokryciem (U_{i})_{i∈I} )

2. Dla i_{1}, …, i_{k} ∈ I, niech U_{i_{1}...i_{k}} := U_{i_{1}} ∩ ⋯∩ U_{i_{k}}. Dla i, j ∈ I, niech ϕ̄_{ji} oznacza następujące złożenie

U_{ij} × ℝ^{n} −−−−−−→^{(ϕ_{i}|_{U_{ij}} )^{−1}} π^{−1} (U_{ij}) −−⟶^{ϕ_{j} |_{U_{ij}}} U_{ij} × ℝ^{n} .

Wtedy dla każdego x ∈ U_{ij} mamy ϕ̄_{ji} (x, v) = (x, ϕ̄_{ji}^{x} (v)) i żądamy żeby ϕ̄_{ji}^{x} była liniowa.

Z warunku 2 dostajemy funkcje przejścia

ϕ_{ji} : U_{ij} → GL_{n}(ℝ), ϕ_{ji}(x) = ϕ̄_{ji}^{x} ,

które są ciągłe (bo jak ustalimy wektor bazy standardowej e_{i}, to funkcja x ↦ ϕ̄_{ji} (x, e_{i}) jest ciągła) i spełniają warunek kocyklu

∀i, j, k ∈ I ∀x ∈ U_{ijk} ϕ_{kj}(x)ϕ_{ji}(x) = ϕ_{ki}(x).

Łatwo udowodnić następujący

Fakt Dla każdego pokrycia otwartego (U_{i})_{i∈I} wraz z układem funkcji ciągłych (ϕ_{ji} : U_{ij} → GL_{n}(ℝ))_{i,j∈I} spełniających warunek kocyklu, istnieje wiązka π : E → X, która trywializuje się nad pokryciem (U_{i})_{i∈I} i dla której funkcje przejścia, to funkcje ϕ_{ji}.

Jeśli założymy, że X jest rozmaitością różniczkową (zespoloną, algebraiczną), to dostajemy definicje wiązki gładkiej (zespolonej, algebraicznej) żądając żeby ϕ_{i} były gładkie (holomorficzne, regularne). Wtedy dostajemy odpowiednik faktu, musimy tylko dodatkowo założyć, że funkcje ϕ_{ji} są gładkie (holomorficzne, regularne).

Przykłady

1. Wiązka trywialna E = X × ℝ^{n}, π jest rzutowaniem, funkcje przejścia to jedna stalą funkcja w macierz identycznościową.

2. Niech X będzie rozmaitością gładką. Wtedy istnieje pokrycie X = ⋃ _{i∈I} U_{i} i homeomorfizmy α_{i} : U_{i} → ℝ^{n}, takie że dla i, j ∈ I złożenie α_{ji}

α_{i}(U_{ij}) −−−−−−→^{(α_{i}|_{U_{ij}} )^{−1}} U_{ij} −−⟶^{α_{j} |_{U_{ij}}} α_{j}(U_{ij}) .

jest gładkie. Definiujemy

ϕ_{ji} : U_{ij} → GL_{n}(ℝ), ϕ_{ji}(x) = α′_{ji}(α_{i}(x)).

Wtedy ϕ_{ji} jest gładka (bo α_{ji} była gładka) i warunek kocyklu odpowiada twierdzeniu o pochodnej funkcji złożonej. Stąd dostajemy wiązkę gładką, jest to wiązka styczna.

Weżmy teraz wiązkę topologiczną π : E → X. Stowarzyszymy z nią snop (na razie grup abelowych) E. Dla U ⊆ X otwartego definiujemy

E(U) := {s : U → π^{−1} (U) | s jest ciągła i πs = id_{U}}.

Czyli jeśli dla C ⊂ X oznaczymy π^{−1} (C) przez E_{C} (dla x ∈ X, piszemy E_{x}), to s : U → E_{U} i dla każdego x ∈ U mamy s(x) ∈ E_{x}. Zauważmy, że każdy E_{x} ma strukturę przestrzeni liniowej zadaną przez ϕ_{i} dla x ∈ U_{i}. Z warunku 2., ta struktura przestrzeni liniowej nie zależy od i. Stąd dla x ∈ U, r ∈ ℝ, s, s′∈ E(U) możemy zdefiniować rs(x) i s(x) + s′(x). Ponadto, jeśli f ∈ C(U) (C to snop funkcji ciągłych), to fs ∈ E(U), czyli dla każdego U, E(U) jest C(U)-modułem. Również funkcje obcięcia E(U) → E(U′) dla U′ ⊂ U są homomorfizmami C(U′)-modułów (E(U) jest C(U′)- modułem poprzez C(U) → C(U′)).

Definicja (X, R) jest przestrzenią opierścienioną(?) (ringed space), gdy R jest snopem pierścieni (przemiennych z 1) na X. Dla przestrzeni opierścienionej (X, R), snop F jest snopem R-modułów, gdy dla każdego otwartego U ⊆ X, F(U) jest R(U)-modułem i dla U′⊆ U funkcje obcięcia F(U) → F(U′) są homomorfizmami R(U′)-modułów.

Definiujemy kategorię wiązek nad X – Vect _{X} definiując morfizmy jako funkcje ciągłe (gładkie dla wiązek gładkich, itd.) zachowujące rzutowania. Wtedy łatwo pokazać, że E → E daje funktor z Vect _{X} w Sh_{Mod _{C_{X}}} – kategorię snopów C_{X}-moduółow. Podobnie dla wiązek gładkich mamy funktor w Sh_{Mod _{C^{∞}_{X}}} dla analitycznych w Sh_{Mod _{C{an \atop X}}} i dla algebraicznych w Sh_{Mod _{O_{X}}} .

Na snopach R-modułów możemy wykonywać wszystkie operacje jak na przestrzeniach wektorowych, np. ⊕, ⊗, ⋀ ,^{∗}. Jeśli wychodzi tylko presnop, to się go usnapia. Dla podzbioru otwartego U ⊆ X i snopa F na X mamy naturalne obcięcie F do U, oznaczane F|_{U}. Snop R-modułów F nazywamy wolnym, F jest izomorficzny z R^{⊕n} i lokalnie wolnym, gdy istnieje pokrycie X = ⋃ _{i∈I} U_{i}, że dla każdego i ∈ I, F|_{U_{i}} jest wolny.

Fakt Kategoria wiązek nad X jest równoważna kategorii lokalnie wolnych snopów C_{X}-modułów. Podobnie dla wiązek gładkich, analitycznych i algebraicznych (zastępując C_{X} przez odpowiednio C_{X}^{∞} , C_{X}^{an}, O_{X}).

Dla rozmaitości gładkiej X, definiujemy Ω_{X}^{i} jako ⋀ ^{i}(T^{∗}), gdzie T jest snopem pochodzącym od wiązki stycznej. Dla f ∈ C_{X}^{∞} (U) mamy df ∈ Ω_{X}^{1}(U) takie, że dla pola wektorowego X ∈ E(U) mamy df(X) := X(f). Dla ω ∈ Ω_{X}^{i}(U), ω′∈ Ω_{X}^{i′}(U) mamy ω∧ω′∈ Ω_{X}^{i+i′} (U) pochodzące z iloczynu tensorowego. Dla k-formy na ℝ^{n} fdx_{i_{1}} ∧ ⋯∧ dx_{i_{k}} definiujemy formę

d_{i}(fdx_{i_{1}} ∧ ⋯∧ dx_{i_{k}}) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{i}} dx_{i} ∧ dx_{i_{1}} ∧ ⋯∧ dx_{i_{k}} .

i przedłużamy liniowo na wszystkie k-formy. Mamy dla dowolnych form

d_{i+i′} (ω ∧ ω′) = ωd_{i′}(ω′) + (−1)^{i}d_{i}(ω)ω′.

Stąd dla r ∈ ℝ mamy d_{i}(rω) = rd_{i}(ω). Odwzorowanie jest niezmiennicze na dyfeomorfizmy stąd zadaje morfizm snopów ℝ_{X}-modułów d_{i} : Ω_{X}^{i} → Ω_{X}^{i+1} i mamy również

Twierdzenie Dla n-wymiarowej rozmaitości gładkiej X następujący ciąg jest acykliczny

0 → ℝ_{X} → C_{X}^{∞} → Ω_{X}^{1} → ... → Ω_{X}^{n} → 0.

Kohomologie kompleksu

0 → Γ(C_{X}^{∞} ) → Γ(Ω_{X}^{1}) → ... → Γ(Ω_{X}^{n}) → 0.

zwą się kohomologiami de-Rhama X (Γ to funktor cięć globalnych, Γ(F) := F(X)).

Dla każdego snopa F chcemy żeby F(∅) = 0 (jak dla snopów funkcji). Dlatego dla grupy abelowej A definiujemy snop lokalnie stały A_{X}. Dla otwartego U ⊆ X,

A_{X}(U) := Hom_{Top} (U, A),

gdzie A ma topologie dyskretną.

Fakt Dla dowolnej przestrzeni opierścienionej (X, R) w kategorii snopów R-modułów istnieje dostatecznie dużo obiektów injektywnych. Dowód Niech F będzie snopem R-modułów. Dla każdego x ∈ X mamy źdźbło F_{x}, które jest R_{x}-modułem. Wiemy, że w kategorii R_{x}-modułów istnieje dostatecznie dużo obiektów injektywnych. Stąd dla każdego x ∈ X istnieje R_{x}-moduł I(x) i zanurzenie R_{x}-modułów F_{x} ↪ I(x). Definiujemy snop I:

dla U ⊆ X otwartego , I(U) := ∏_{x∈U} I(x).

Łatwo zauważyć, że I_{x} ≅ I(x). Claim Dla snopa R-modułów G mamy bijekcję

Hom_{R}(G, I) ∋ f ↦ (f_{x} : G_{x} → I(x))_{x∈X} ∈ ∏_{x∈X} Hom_{R_{x}} (G_{x}, I(x)).

Dowód Claimu Z ćwiczeń powyższe odwzorowanie jest injecją. Weźmy teraz dowolny ciąg (f_{x}) ∈ Hom_{R_{x}} (G_{x}, I(x)). Definiujemy

f : G → I, dla U ⊆ X otwartego f(s) = (f_{x}(s_{x}))_{x∈U} ∈ ∏_{x∈U} I(x) = I(U).

Wtedy f ↦ (f_{x}). Weźmy teraz monomorfizm snopów f : G ↪ H i inny morfizm g : G ↪ I. I jest injektywny, gdy f przedłuża się do h : H → I takiego, że hf = g. Z injektywności R_{x}-modułów I(x) dostajemy kolekcję (h_{x} : H_{x} → I_{x})_{x∈X} takich, że h_{x}f_{x} = g_{x}. Z Claimu mamy h : H → I, który przechodzi na (h_{x}) w “odwzorowaniu źdźbeł”. Ponownie z ćwiczeń hf = g.

Definicja Dla snopa F, jego grupa n-tych kohomologii to:

H^{n}(X, F) := R^{n}Γ(F)

dla Γ – funktora cięć globalnych.

Niełatwo jednak znaleźć naturalne przykłady snopów injektywnych, dlatego ich istnienie daje nam tylko istnienie kohomologii snopów, jednak nie sposób ich obliczenia. Chcemy liczyć kohomologie za pomocą większej klasy snopów.

Definicja Niech F : A → B będzie addytywnym funktorem lewo-dokładnym pomiędzy dwiema kategoriami abelowymi. Załóżmy, że A ma dostatecznie wiele obiektów injektywnych. Wtedy obiekt A ∈ A nazywamy F-acyklicznym, gdy dla n 0 mamy R^{n}F(X) = 0.

Twierdzenie (ćwiczenia) Funktory pochodne można liczyć z rezolwent acyklicznych. Tzn. dla F jak wyżej, X ∈ A i rezolwenty F-acyklicznej

0 → X → A_{0} → A_{1} → …,

R^{n}F(A), to n-te kohomologie kompleksu

0 → F (A_{0}) → F (A_{1}) → ….

Definicja Dla snopa F i dowolnego podzbioru A ⊆ X, definiujemy

F(A) := \underrightarrow{lim}_{A⊆U} F(U).

Wtedy dla A ⊆ B ⊆ X mamy odwzorowanie obcięcia F(B) → F(A). Z twierdzenia Tietza, dla X – regularnej i A domkniętego, mamy C_{X}(A) = C_{A}(A).

Definicja Snop F nazywamy miękkim, gdy dla każdego podzbioru domkniętego A ⊆ X funkcja obcięcia F(X) → F(A) jest “na”.

Na następnym wykładzie pokażemy:

Twierdzenie 1 Każdy snop miękki jest Γ-acykliczny.

Twierdzenie 2 Jeśli X jest gładka, to każdy snop C_{X}^{∞} -modułów jest miękki.

Wniosek Jeśli X jest gładka, to

H^{n}(X, ℝ_{X}) ≅ H_{DR}^{n}(X).