11. Izomorfizmy i izometrie liniowe

W tym rozdziale zakładamy, że $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ jest przestrzenią euklidesową skończonego wymiaru. W poprzednim rozdziale przedstawiliśmy już pewne korzyści płynące z bazy ortonormalnej. Dowód następnego twierdzenia zawiera metodę przekształcania dowolnej bazy przestrzeni $V$ w bazę ortonormalną. Jest to tak zwana ortonormalizacja metodą Grama-Schmidta.

Twierdzenie 11.1   $V$ ma bazę ortonormalną.

Dowód. Wybierzmy bazę ${\cal B}=\{b_1,\dots,b_n\}$ przestrzeni $V$. Niech $W_k=Lin\{b_1,\dots,b_k\}, k=1,\dots,n$. Znajdziemy bazę ortonormalną ${\cal B}'=\{b_1',\dots,b_n'\}$ taką, że dla wszystkich $k, W_k=Lin\{b_1',\dots,b_k'\}$. Wektory $b_k',k=1,\dots,n$ definiujemy przez indukcję względem $k$.

1. $k=1$. Definiujemy $b_1'=\frac{1}{\Vert b_1\Vert}b_1$. $b_1'$ ma więc długość $1$.

2. Załóżmy, że $k<n$ i zdefiniowaliśmy już wektory $b_1',\dots,b'_k$ tworzące bazę ortonormalną podprzestrzeni $W_k$. Znajdziemy wektor $b_{k+1}'$ taki, że wektory $b'_1,\dots,b'_{k+1}$ są bazą ortonormalną przestrzeni $W_{k+1}$.

Niech

$$b_{k+1}^*=b_{k+1}-P_{W_k}(b_{k+1})=b_{k+1}-\sum_{t=1}^k\langle b_{k+1},b'_t\rangle b'_t.$$

Wektory $b_{k+1}$ i $b_{k+1}^*$ różnią się o wektor z $W_k$, dlatego $W_{k+1}=Lin(W_k\cup\{b_{k+1}\})=Lin(W_k\cup\{b^*_{k+1}\})$, skąd wynika że $\{b_1',\dots,b_k',b_{k+1}^*\}$ jest bazą przestrzeni $W_{k+1}$.

Na mocy uwagi 10.9, wektor $b^*_{k+1}$ jest ortogonalny do $W_k$, więc wektory $b_1',\dots,b_k',b_{k+1}^*$ są parami ortogonalne. Niech

$$b_{k+1}'=\frac{1}{\Vert b^*_{k+1}\Vert}b^*_{k+1}.$$

Widzimy, że $\{b_1',\dots,b_{k+1}'\}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni $W_{k+1}$.

Dla $k=n$, $W_k=V$, więc $\{b'_1,\dots,b'_n\}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni $V$.

Przykład.

Niech $\Pi\subset {\mathbb{R}}^3$ będzie płaszczyzną o równaniu $X=tA+sB,t,s\in {\mathbb{R}}$, gdzie

$$A=\left[\begin{array}{c}1 2 3\end{array}\right],\ B=\left[\begin{array}{c}3 2 1\end{array}\right].$$

Wektory $A,B$ tworzą bazę $\Pi$. Znajdziemy bazę ortonormalną $\{A',B'\}$ przestrzeni $\Pi$.

$$\Vert A\Vert=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$$

Definiujemy więc wektor jednostkowy

$$A'=\frac{1}{\sqrt{14}}A=\frac{1}{\sqrt{14}}\left[\begin{array}{c}1\\ 2 3\end{array}\right].$$

Niech

$$B^*=B-P_{A'}(B)=B-\langle B,A'\rangle A'=\frac{4}{7}\left[\begin{array}{r}4 1 -2\end{array}\right].$$

Wektor $B^*$ leży na płaszczyźnie $\Pi$ i jest ortogonalny do $A'$, ma on długość

$$\Vert B^*\Vert=\frac{4}{7}\sqrt{21}.$$

Wektor

$$B'=\frac{1}{\Vert B^*\Vert}B^*=\frac{1}{\sqrt{21}}\left[\begin{array}{r}4\\ 1 -2\end{array}\right]$$

jest już unormowany i wektory $A',B'$ tworzą bazę ortonormalną przestrzeni $\Pi$.

Zazwyczaj w przestrzeni euklidesowej jest wiele baz ortonormalnych.

Zastosowania.

1. Załóżmy, że $W$ jest podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej $V$. Używając bazy ortonormalnej przestrzeni $W$ możemy łatwo zdefiniować rzut prostopadły $P_W$ na przestrzeń $W$. Przy pomocy tego przekształcenia możemy określić odległość dowolnego wektora $v\in V$ od podprzestrzeni $W$ wzorem

$$d(v,W)=d(v,P_W(v))=\Vert v-P_W(v)\Vert.$$

Istotnie, $P_W(v)\in W$. Oprócz tego pokażemy, że dla wszystkich $w\in W, d(v,w)\geq d(v,P_W(v))$.

W tym celu zauważmy, że

$$v-w=(P_W(v)-w)+(v-P_W(v)).$$

Mamy $v-P_W(v)\perp W$ oraz $P_W(v)-w\in W$, więc $\langle v-P_W(v),P_W(v)-w\rangle=0$. Dlatego

$$d(v,w)^2=\Vert v-w\Vert^2=\langle (P_W(v)-w)+(v-P_W(v)),(P_W(v)-w)+(v-P_W(v))\rangle=$$

$$\Vert P_W(v)-w\Vert^2+\Vert v-P_W(v)\Vert^2+2\langle P_W(v)-w,v-P_W(v)\rangle=$$

$$\Vert P_W(v)-w\Vert^2+\Vert v-P_W(v)\Vert^2=d(P_W(v),w)^2+d(v,P_W(v))^2\geq d(v,P_W(v))^2.$$

2. Definiujemy przekształcenie liniowe $S_W:V\rightarrow V$ wzorem

$$S_W(v)=2P_W(v)-v.$$

łatwo sprawdzić, że

$$v-S_W(v)\perp W \mbox{ oraz } \Vert v\Vert=\Vert S_W(v)\Vert.$$

Dlatego przekształcenie $S_W$ nazywamy odbiciem względem podprzestrzeni $W$.

3. Załóżmy, że ${\cal B}=\{b_1,\dots,b_n\}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni $V$. Przy użyciu tej bazy możemy łatwo obliczać iloczyn skalarny $\langle v,w\rangle$ wektorów $v,w\in V$.

Uwaga 11.2   $\langle v,w\rangle=\langle[v]_{{\cal B}},[w]_{{\cal B}}\rangle$, gdzie po prawej stronie występuje standardowy iloczyn skalarny przestrzeni $E^n$.

Dowód. Załóżmy, że $v=\sum t_ib_i, w=\sum s_jb_j$. Wtedy korzystając z ortonormalności bazy ${\cal B}$ mamy

$$\langle v,w\rangle=\langle\sum_it_ib_i,\sum_js_j,b_j\rangle=\... ...gle=\sum_i t_is_i=\langle [v]_{{\cal B}},[w]_{{\cal B}}\rangle.$$

Następna uwaga nie jest prawdziwa dla wszystkich przestrzeni euklidesowych. Tu dowodzimy jej dla przestrzeni skończonego wymiaru.

Uwaga 11.3   Dla podprzestrzeni $W$ przestrzeni $V$, $V=W\oplus W^{\perp}$.

Dowód. Niech $v\in V$. Zauważmy, że wektor $v\in V$ mozemy przedstawić jako sumę wektorów z podprzestrzeni $W$ i $W^{\perp }$, mianowicie

$$v= P_W(v)+(v-P_W(v)).$$

Musimy jeszcze pokazać, że to przedstawienie jest jednoznaczne. Przypuśćmy, że $v=w+w'$, gdzie $w\in W,w'\in W^{\perp}$. Pokażemy, że $w=P_W(v)$ i $w'=v-P_W(v)$.

Zauważmy, że

$$O=v-v=\overbrace{P_W(v)-w}^u+\overbrace{(v-P_W(v))-w'}^{-u}.$$

Dlatego $u\in W\cap W^{\perp}$. W szczególności $u\perp u$, czyli $u=O$. Stąd dostajemy $w=P_W(v)$ i $w'=v-P_W(v)$.

Załóżmy teraz, że $(W,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ jest inną przestrzenią euklidesową.

Definicja 11.4   Izomorfizmem przestrzeni euklidesowych $V$ i $W$ nazywamy każdy izomorfizm liniowy $F:V\rightarrow W$ taki, że dla wszystkich $v,v'\in V$

$$(*) \langle v,v'\rangle=\langle F(v),F(v')\rangle.$$

Gdy taki izomorfizm istnieje, mówimy, że przestrzenie euklidesowe są izomorficzne.

Odpowiednikiem twierdzenia 3.6 o izomorfizmie liniowym jest następujące twierdzenie o izomorfizmie przestrzeni euklidesowych.

Twierdzenie 11.5   Przestrzeń euklidesowa wymiaru $n$ jest izomorficzna z przestrzenią $E^n$.

Dowód. Załóżmy, że $V$ jest przestrzenią euklidesową wymiaru $n$. Niech ${\cal B}=\{b_1,\dots,b_n\}$ będzie bazą ortonormalną przestrzeni $V$. Tak samo, jak w dowodzie twierdzenia 3.6 określamy $F:V\rightarrow E^n$ wzorem

$$F(v)=[v]_{{\cal B}}.$$

Na mocy dowodu twierdzenia 3.6, $F$ jest izomorfizmem liniowym. Na mocy uwagi 11.2, $F$ jest ponadto izomorfizmem przestrzeni euklidesowych.

Mozemy teraz podać głębsze uzasadnienie definicji odległości i kąta między wektorami $v,w$ przestrzeni euklidesowej $V$. Mianowicie, rozważmy podprzestrzeń $W=Lin(v,w)$ przestrzeni $V$. Przestrzeń $W$ jest również przestrzenią euklidesową (z iloczynem skalarnym pzestrzeni $V$ ograniczonym do $W$). Dlatego na mocy twierdzenia 11.4 istnieje izomorfizm liniowy $F:W\rightarrow E^2$. Na płaszczyźnie euklidesowej $E^2$ mamy naturalne pojęcia odległości i kąta między wektorami. łatwo sprawdzić, że odległość i kąt między wektorami $v,w$ w przestrzeni $V$ równe są odległości i kątowi między odpowiadającymi im wektorami $F(v),F(w)$ na płaszczyźnie $E^2$.

Wniosek 11.6   Przestrzenie euklidesowe tego samego wymiaru skończonego są izomorficzne.

Dowód. Załóżmy, że $V$ i $W$ są przestrzeniami euklidesowymi wymiaru $n$. Na mocy twierdzenia 11.4, istnieją izomorfizmy $F:V\rightarrow E^n$ i $G:W\rightarrow E^n$. Podobnie jak we wniosku 3.7, przekształcenie $G^{-1}F:V\rightarrow W$ jest izomorfizmem przestrzeni euklidesowych $V$ i $W$.

Zwróćmy uwagę, że możemy jawnie zadać izomorfizm między przestrzeniami $V,W$ we wniosku 11.6. Mianowicie, gdy ${\cal B}=\{b_1,\dots,b_n\}$ i ${\cal C}=\{c_1,\dots,c_n\}$ są bazami ortonormalnymi przestrzeni $V$ i $W$ odpowiednio, to przekształcenie liniowe $H:V\rightarrow W$ określone wzorem

$$H(\sum t_ib_i)=\sum t_ic_i$$

jest izomorfizmem przestrzeni euklidesowych $V,W$.

Osłabiając nieco warunki definicji izomorfizmu liniowego dostaliśmy w rozdziale 3 pojęcie przekształcenia liniowego. Podobnie, osłabiając nieco warunki definicji izomorfizmu przestrzeni euklidesowych dostajemy definicję izometrii liniowej.

Definicja 11.7   Załóżmy, że $V,W$ są dwiema przestrzeniami euklidesowymi. Przekształcenie liniowe $F:V\rightarrow W$ nazywamy izometrią liniową, gdy dla wszystkich $v,v'\in V$

$$(*) \langle v,v'\rangle=\langle F(v),F(v')\rangle.$$

Będziemy zajmować się przede wszystkim izometriami $F:V\rightarrow V$ jednej przestrzeni euklidesowej skończonego wymiaru. W większości dowody można łatwo uogólnić na przypadek dowolnych izometrii liniowych. W następnym rozdziale opiszemy wszystkie izometrie liniowe przestrzeni $V$.

Czytelnik zauważa zapewne, że termin ``izometria'' odnosić się powinien do zachowywania odległości, niekoniecznie zaś do zachowywania również iloczynu skalarnego. Przykładowo, translacja $T_u:V\rightarrow V$ jest izometrią, bo zachowuje odległości między wektorami. Zazwyczaj jednak $T_u$ nie spełnia warunku $(*)$ definicji 11.6. Następna uwaga pokazuje, że dla przekształceń liniowych zachowywanie odległości jest równoważne zachowywaniu iloczynu skalarnego.

Uwaga 11.8   Dla przekształcenia liniowego $F:V\rightarrow V$ następujące warunki są równoważne.
1) F jest izometrią liniową.
2) $\Vert F(v)\Vert=\Vert v\Vert$ dla wszystkich $v\in V$.

Dowód. $(1)\Rightarrow (2)$ jest jasne, bo $\Vert v\Vert^2=\langle v,v\rangle=\langle F(v),F(v)\rangle=\Vert F(v)\Vert^2$.

$(2)\Rightarrow (1)$. Zauważmy, że na mocy (2) i liniowości $F$ mamy

$$\begin{array}{ccccccc} \Vert v-w\Vert^2&=&\Vert v\Vert^2&+&\V... ...t^2&+&\Vert F(w)\Vert^2&-&2\langle F(v),F(w)\rangle.\end{array}$$

Dlatego $\langle v,w\rangle=\langle F(v),F(w)\rangle$.

Wniosek 11.9   Izometria liniowa $F:V\rightarrow V$ jest izomorfizmem. $F^{-1}:V\rightarrow V$ jest również izometrią liniową.

Dowód. By udowodnić, że $F$ jest izomorfizmem, na mocy twierdzenia 4.10 i wniosku 4.13 wystarczy pokazać, że $Ker(F)=\{O\}$. Dla $v\neq O$, $\Vert v\Vert>0$, więc na mocy uwagi 11.8, również $\Vert F(v)\Vert>0$, czyli $F(v)\neq O$.

Sprawdzenie, że $F^{-1}$ jest również izometrią liniową pozostawiamy jako ćwiczenie.

Rozważymy teraz problem, jak rozpoznać w praktyce, czy przekształcenie liniowe $F:V\rightarrow V$ jest izometrią.

Definicja 11.10   Macierz $A$ (wymiaru $n\times n$) jest ortogonalna, gdy jej kolumny są ortogonalnymi jednostkowymi wektorami w $E^n$ (tworzą więc bazę ortonormalną przestrzeni $E^n$).

Następna uwaga daje proste kryterium do sprawdzania, czy dany endomorfizm jest izometrią liniową.

Uwaga 11.11   Załóżmy, że ${\cal B}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni $V$ i $F:V\rightarrow V$ jest liniowe. Następujące warunki są równoważne.
1) $F$ jest izometrią liniową.
2) $m_{{\cal B}}(F)$ jest ortogonalna.

Dowód. Załóżmy, że ${\cal B}=\{b_1,\dots,b_n\}$. Wówczas wektory $[F(b_1)]_{{\cal B}},\dots,$
$[F(b_n)]_{{\cal B}} \in {\mathbb{R}}^n$ tworzą kolejne kolumny macierzy $m_{{\cal B}}(F)$. W dowodzie będziemy wielokrotnie używać uwagi 11.2.

$(1)\Rightarrow (2)$.

$$\Vert[F(b_i)]_{{\cal B}}\Vert^2=\langle [F(b_i)]_{{\cal B}}, ... ...F(b_i),F(b_i)\rangle=\langle b_i,b_i\rangle=\Vert b_i\Vert^2=1.$$

Podobnie sprawdzamy, że kolumny macierzy $m_{{\cal B}}(F)$ są parami ortogonalne w przestrzeni $E^n$.

$(2)\Rightarrow (1)$. Załóżmy, że $m_{{\cal B}}(F)$ jest ortogonalna. Niech $c_i=F(b_i),i=1,\dots,n$. Po pierwsze udowodnimy, że ${\cal C}=\{c_1,\dots,c_n\}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni $V$.

Pokażemy, że wektory $c_1,\dots,c_n$ mają długość $1$ i są parami ortogonalne. Niech $1\leq i,j\leq n$.

$$\langle c_i,c_j\rangle=\langle F(b_i),F(b_j)\rangle\stackrel{... ...l}0,&\mbox{gdy }i\neq j\\ 1,&\mbox{gdy }i=j.\end{array}\right.$$

łatwo dowieść, że układ parami ortogonalnych wektorów niezerowych jest liniowo niezależny. Dlatego ${\cal C}$ jest liniowo niezależny. $n=\dim(V)$ i $\vert{\cal C}\vert=n$, więc ${\cal C}$ jest bazą ortonormalną $V$.

Teraz pokażemy, że $F$ jest izometrią liniową. Niech $v=\sum t_ib_i, w=\sum s_ib_i\in V$. Wystarczy udowodnić, że $\langle F(v),F(w)\rangle=\langle v,w\rangle$.

Zauważmy, że $F(v)=\sum t_ic_i, F(w)=\sum s_ic_i$ więc $[v]_{{\cal B}}=[F(v)]_{{\cal C}}$ i $[w]_{{\cal B}}=[F(w)]_{{\cal C}}$. Dlatego

$$\langle F(v),F(w)\rangle\stackrel{11.2}{=}\langle [F(v)]_{{\c... ... B}},[w]_{{\cal B}}\rangle\stackrel{11.2}{=}\langle v,w\rangle.$$

Bardzo łatwo obliczyć macierz odwrotną do macierzy ortogonalnej.

Uwaga 11.12   Niech $A$ będzie macierzą wymiaru $n\times n$. Następujące warunki są równoważne.
1) $A$ jest ortogonalna.
2) $A$ jest odwracalna i $A^{-1}=A^*$.

Dowód. Zapiszmy $A$ jako układ kolumn $A=(A_1,\dots,A_n)$. Wówczas $A_1,\dots,$
$A_n$ to kolejne wiersze macierzy transponowanej $A^*$.

$(1)\Rightarrow (2).$ Załóżmy, że $A$ jest ortogonalna. Niech $F_A:E^n\rightarrow E^n$ będzie przekształceniem liniowym o macierzy $A$. Na mocy uwagi 11.11, $F_A$ jest izometrią liniową, więc jest odwracalne (wniosek 11.9). Stąd wynika (uwaga 4.7), że macierz $A=m(F_A)$ jest odwracalna. Pokażemy, że $A^*=A^{-1}$. Zgodnie z definicją iloczynu macierzy, $A^*A=[A_i\cdot A_j]_{n\times n}$. Skoro macierz $A$ jest ortogonalna, to

$$A_i\cdot A_j=\left\{\begin{array}{cl}0,&\mbox{gdy } i\neq j\\ 1,&\mbox{gdy }i=j,\end{array}\right.$$

dlatego $A^*A=I$. Stąd dostajemy

$$A^*=A^*I=A^*(AA^{-1})=(A^*A)A^{-1}=IA^{-1}=A^{-1}.$$

$(2)\Rightarrow (1).$ Załóżmy, że $A^*=A^{-1}$. Znaczy to, że $[A_i\cdot A_j]_{n\times n}=A^*A=I$, więc

$$A_i\cdot A_j=\left\{\begin{array}{cl}0,&\mbox{gdy } i\neq j\\ 1,&\mbox{gdy }i=j,\end{array}\right.$$

czyli macierz $A$ jest ortogonalna.

Wniosek 11.13   Załóżmy, że $A$ jest macierzą ortogonalną, zaś $F:V\rightarrow V$ izometrią liniową.
1) $\vert\det(A)\vert=1, \vert\det(F)\vert=1$.
2) Jeśli $\lambda$ jest wartością własną macierzy $A$ lub endomorfizmu $F$, to $\vert\lambda\vert=1$.

Dowód. 1) Dowód przeprowadzimy dla macierzy $A$. Na mocy twierdzenia 5.14, $\det(A^*)=\det(A)$. Zgodnie z uwagą 11.12, $A^*A=I$, więc na mocy twierdzenia Cauchy'ego (wniosek 5.13)

$$\det(A)^2=\det(A^*)\det(A)=\det(I)=1.$$

Dlatego $\vert\det(A)\vert=1$.

(2) Dowód przeprowadzimy dla $F$. Załóżmy, że $F(v)=\lambda v$ dla pewnego niezerowego wektora $v$. Wtedy na mocy uwag 10.3(0) i 11.8 mamy

$$\Vert v\Vert=\Vert F(v)\Vert=\Vert\lambda v\Vert=\vert\lambda\vert\cdot\Vert v\Vert.$$

Stąd wynika, że $\vert\lambda\vert=1$.

Przykłady.

Niech ${\cal B}=\{b_1,\dots,b_n\}$ będzie bazą ortonormalną przestrzeni $V$. Podamy 2 przykłady izometrii liniowych przestrzeni $V$.

1. Niech $W=Lin(b_1,b_2)\subset V$. $W$ jest podprzestrzenią wymiaru $2$, takie podprzestrzenie nazywamy płaszczyznami. $W^{\perp}=Lin(b_3,\dots,b_n)$ i $V=W\oplus W^{\perp}$. Stosując izomorfizm z twierdzenia 11.5, możemy myśleć o przestrzeni $V$ jak o standardowej przestrzeni $E^n$, zaś o wektorach $b_1,\dots,b_n$ jak o wektorach $E_1,\dots,E_n$. Niech $\alpha\in {\mathbb{R}}$. Obrotem przestrzeni $V$ w płaszczyźnie $W$ (wokół przestrzeni $W^{\perp }$) nazywamy przekształcenie liniowe $R^{\alpha}_W:V\rightarrow V$ o macierzy

$$m_{{\cal B}}(R^{\alpha}_W)=\left[\begin{array}{rrccc}\cos(\al... ...ddots&\mbox{}\\ 0&\mbox{}&\mbox{}&\mbox{}&1\end{array}\right].$$

Rysunek: Obrót $R$ o kąt $\alpha$ w płaszczyźnie $W$, wokół $W^{\perp }$

Macierz ta jest ortogonalna, więc obrót jest izometrią liniową. Definicja obrotu $R^{\alpha}_W$ nie jest jednoznaczna, zależy bowiem od wyboru (a dokładniej orientacji) bazy $\{b_1,b_2\}$ tej podprzestrzeni. Mówiąc nieformalnie, orientacja płaszczyzny $W$ to wybór jednego z dwóch kierunków obrotu jako kierunku dodatniego.

2. Innym przykładem izometrii liniowej jest odbicie przestrzeni $V$ względem jej podprzestrzeni (określone przed uwagą 11.2). Zbadamy dokładniej odbicie względem hiperpłaszczyzny. Mianowicie niech $U=Lin(b_2,\dots,b_n)\subset V$. Podprzestrzeń $U$ ma wymiar $n-1=\dim(V)-1$. Podprzestrzenie takie nazywamy hiperpłaszczyznami. $U^{\perp}=Lin(b_1)$. Odbicie $S_U:V\rightarrow V$ względem hiperpłaszczyzny $U$ ma macierz

$$m_{{\cal B}}(S_U)=\left[\begin{array}{rccc}-1&\mbox{}&\mbox{}... ...mbox{}&\ddots&\mbox{}\\ 0&\mbox{}&\mbox{}&1\end{array}\right].$$

Rysunek: Odbicie $S$ względem podprzestrzeni $U$